TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN TÜREVİ

Matematik dersi türevler konusu. Trigonometrik fonksiyonların türevlerinin hesaplanması. sinx ve cosx fonksiyonlarının türevlerinin alınması. Konu anlatımı ve çözümlü örnekler.

1- y = sinx fonksiyonunun türevi;

A)

y = f(x) fonksiyonu,

y = sinx ise,

Bu fonksiyonun türevi,

y’ = f’(x) = (sinx)’

= cosx

B)

u(x) türevlenebilen bir fonksiyon olmak üzere,

y = f(x) = sinu(x) ise,

y’ = u’(x) . cosu(x) şeklindedir.

C)

y = sinⁿ(x) ise

y’ = n.sin^{(n – 1)}x . cosx

D)

u(x) türevlenebilen bir fonksiyon olmak üzere,

y = sinⁿ (u(x)) şeklinde ise,

y’ = n.sin^{(n – 1)} (u(x)) . u’(x) . cosu(x)

2- y = cosx fonksiyonunun türevi

A)

y = f(x) fonksiyonu,

y = cosx şeklinde ise,

Bu fonksiyonun türevi,

y’ = f’(x) = (cosx)’

= - sinx

B)

u(x) türevlenebilen bir fonksiyon olmak üzere,

y = cosu(x) şeklinde ise, y’nin türevi,

y’ = -u(x) . sinu(x)

Şeklindedir.

C)

y = f(x) fonksiyonu,

y = cosⁿx şeklinde ise,

y’ = - n.cos^{(n – 1)}x . sinx şeklinde olur.

D)

u(x) türevlenebilir bir fonksiyon olmak üzere,

f(x) fonksiyonu,

y = cosⁿ u(x) şeklinde ise,

y’ = ncos^{(n – 1)}u(x) . u’(x) . (- sinu(x))

Örnek:

f(x) = 3sin4x + 2sin(6x)²

Olduğuna göre f’(x) i bulunuz.

Çözüm:

3sin4x ifadesinde 4x = g(x), 2sin(6x)² ifadesinde 36x² = h(x) gibi düşünebiliriz.

y = sing(x) ise,

y’ = g’(x) . cosg(x) tir. Bu eşitliği f(x) fonksiyonunun her terimi için uygularsak;

f(x) = 3sin4x + 2sin(6x)²

f’(x) = 3 . (4x)’ . cos4x + 2 .[36x²]’ . cos(6x)²

f’(x) = 12cos4x + 144xcos(36x²)

Örnek:

y = 3sin3x² – 2cos2x³ fonksiyonunun türevini hesaplayınız.

Çözüm:

Her bir terimin ayrı ayrı türevini bularak bu türevleri toplayalım.

(3sin3x²)’ = 3 . (3x²)’ . cos3x²

= 18xcos3x²

(2cos2x³ )’ = -2. (2x³)’ . sin2x³

= - 12x² . sin2x³

Buna göre,

y’ = 18xcos3x² – ( - 12x² . sin2x³)

y’ = 18xcos3x² + 12sin2x³

Örnek:

y = sin⁵(3x²)

Olduğuna göre,

y’ ni hesaplayınız.

Çözüm:

y’ = 5sin⁴(3x²) . (sin3x²)’

y’ = 5sin⁴(3x²) . (3x²)’ . cos3x²

= 5sin⁴(3x²) . 6x . cos3x²

= 30xsin⁴(3x²) . cos3x²

Örnek:

y = sin⁶(2x³) – cos⁶(x³)

Olduğuna göre, y’ ni hesaplayınız.

Çözüm:

Her terimin ayrı ayrı türevini alalım.

[sin⁶(2x³)]’ = 6sin⁵(2x³) . (sin2x³)’

= 6sin⁵(2x³) . (2x³)’ . cos2x³

= 36x²sin⁵(2x³) . cos2x³

[cos⁶(x³)]’ = 6cos⁵(x³) . (cosx³)’

= 6cos⁵(x³) . (x³)’ . ( - sinx³)

= - 18x²sinx³ . cos⁵(x³)

İki türevi y = f(x) fonksiyonunun türevinde birleştirirsek,

y = sin⁶(2x³) – cos⁶(x³)

y’ = 36x²sin⁵(2x³) . cos2x³ – (-18x²sinx³ . cos⁵(x³) )

= 36x²sin⁵(2x³) . cos2x³ + 18x²sinx³ . cos⁵(x³)

Örnek:

y = cos(sinx³) + sin(cosx³)

Olduğuna göre y fonksiyonunun türevini bulunuz.

Çözüm:

y = f(x) fonksiyonu, cosg(x) + sinh(x) şeklinde bir fonksiyondur.

1. Terimin türevi,

cos(sinx³) = - sin(sinx³) . (sinx³)’

= - sin(sinx³) . (x³)’ . cosx³

= - 3x²sin(sinx³) . cosx³

2. Terimin türevi,

sin(cosx³) = cos(cosx³) . (x³)’. (- sinx³)

= - 3x²cos(cosx³) . sinx³

Buna göre y’,

y’ = - 3x² sin(sinx³) . cosx³ - 3x²cos(cosx³) . sinx³

Örnek:

Olduğuna göre,

f’(x) ni bulunuz.

Çözüm:

Ters Trigonometrik Türevler

SANATSAL BİLGİ

11/07/2018