TRİGONOMETRİK SİNX DENKLEMLERİ

Matematik dersi, trigonometrik denklemler konusu. sinx = a, sin(ax) = c, sin(ax + b) = c şeklindeki denklemlerin çözüm kümeleri. Konu anlatımı ve çözümlü örnekler.


1. sinx = a Denklemi

k ∈ Z olmak üzere sinx = a denkleminin kökleri,

x1 = ϑ + k.2π

x2 = π – ϑ + k.2π


Örnek:

sinx = 1/2 denklemini sağlayan x değerlerini 0 – 360° aralığında bulunuz.

Çözüm:

sin30 = 0,5 olduğundan,

x1 = 30 + 0.2π = 30°

x2 = 180 – 30 + 0.2π = 150°

Burada denklemin köklerini 0 – 360° aralığı için bulduk. 1. ve 2. Bölgede sinx değeri pozitif, 3. Ve 4. Bölgede negatiftir. Bu nedenle 0 – 360° aralığındaki pozitif değerleri bulmak için k değerini 0 yapmalıyız. Aşağıda 0 – 360 arasına sıkıştırılmamış köklerinin bulunması gösterilmiştir.


Örnek:

sinx = 1 / 2 denkleminin köklerini bulunuz.


Çözüm:

sin30 = 0,5

x1 = 30 + k.2π

x2 = 180 – 30 + k.2π



k = 0 için,

x1 = 30 + 0.2π = 30°

x2 = 180 – 30 + 0.2π = 150°



k = 1 için, 

x1 = 30 + 360

= 390

390° nin esas ölçüsü 30° dir. Bu esas ölçü, k tamsayısının her değeri için aynı kalır değişmez.

k = - 1 için,

x1 = 30 + ( - 1).2π

= 30 – 360 = - 330

- 330° nin esas ölçüsü kaç derecedir? İnceleyelim,

-330 + 360 = x

x = 30°

k tamsayısının negatif değerleri için de esas ölçümüz değişmemektedir. O halde k’nın tamsayı değerleri için 1. Kök,

x | x = 30 + k.360, k ∈ Z

olur.


2. kökü inceleyelim.

k = 1 için,

x2 = 180 – 30 + k.2π

x2 = 180 – 30 + 1.360

x2 = 150 + 360= 510

510° nin esas ölçüsü nedir? Onu inceleyelim.

510 = 360 + x

x = 150°

x2 kökü için de k tamsayısının her değeri için esas ölçü değişmemektedir. 

k = – 1 için,

x2 = 180 – 30 – 360

x2 = – 210°


– 210 + 360 = x

x = 150

k sayısının negatif tüm değerleri için durum aynıdır. Esas ölçü 150 derece olur. O halde,

x = 150 + k.360, k ∈ Z

1. ve 2. Kökleri birleştirelim.

Ç = {x | x = 30 + k.360 V x = 150 + k.360, k ∈ Z}

Bu çözüm kümesinde 360°yerine 2π de kullanılabilir.

Ç = {x | x = π/6 + k.2π V x = 5π/6 + k.2π, k ∈ Z}



2. sin(ax + b) = c denklemi

Örnek:

sin(3x – 15) = √3/2

Denkleminin çözüm kümesini bulunuz.


Çözüm:

sin(3x – 15) = √3/2 ise,

sin60 = sin120 = √3/2 olduğundan, 

1. kök

3x1 – 15 = 60 + k.360

3x1 = 75 + k.360

x1 = 75/3 + k.120

x1 = 25 + k.120

Ç1 = {x | x = 25 + k.120, k ∈ Z}


2. kök

3x2 – 15 = 120 + k.360

3x2 = 135 + k.360

x2 = 45 + k.120

Ç2 = {x | x =45 + k.120, k ∈ Z}

Bu iki çözüm kümesinin birleşimi,

Ç12 = {x | x = 25 + k.120 V x =45 + k.120, k ∈ Z}


Bu denklemler de k yerine hangi tamsayı konulursa konulsun, esas açıyı değiştirmeyecektir. Dolayısıyla köklerin değeri değişmez.


Örnek:

Sinx = 0 denklemini çözünüz.


Çözüm:

Sinx = 0 ise,

x = k.180, x = k.0 veya x = k.360° dir.

y = sinϑ denkleminin kökleri,

x1 = ϑ + k.2π

x2 = π – ϑ + k.2π


ϑ = 0 için,

x1 = 0 + k.2π

x2 = π – 0 + k.2π 

x2 = π + k.2π


x1 kökünün çözüm kümesi tüm k tamsayılar kümesidir.

x2 kökünün çözüm kümesi, yine tamsayılar kümesidir. Her iki kökte k hangi değeri alırsa alsın 0 eşitliğini sağlar. Buna göre,

Ç.K = {x | x = k.π, k ∈ Z}



Örnek:

Sin(6x – 27) = √2/2 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.


Çözüm:

Sin45 = √2/2 olduğundan,

x1 = ϑ + k.2π

x2 = π – ϑ + k.2π


1. kök,

6x1 – 27 = 45 + k.360

6x1 = 72 + k.360

x1 = 12 + k.60


2. kök,

6x2 – 27 = 180 – 45 + k.360

6x2 – 27 = 135 + k.360

6x2 = 162 + k.360

x2 = 27 + k.60



Ç.K1 = {x | x = 12 + k.60, k ∈ Z}

Ç.K2 = {x | x = 27 + k.60, k ∈ Z}

Ç.K = {x | x = 12 + k.60 V x = 27 + k.60, k ∈ Z}


Yarım Açı Formülleri

Trigonometrik cosx Denklemleri



SANATSAL BİLGİ

18/05/2019

  • YORUM YAZ
  • ADI SOYADI(veya nick)
  • YORUM

COPYRIGHT© HER HAKKI SAKLIDIR
Sitede Yer Alan Bilgi Belge Ve Materyallerin İzinsiz olarak Kopyalanması ve Alıntılanması Yasaktır

SANATSAL BILGI