TRİGONOMETRİK SİNX DENKLEMLERİ
Matematik dersi, trigonometrik denklemler konusu. sinx = a, sin(ax) = c, sin(ax + b) = c şeklindeki denklemlerin çözüm kümeleri. Konu anlatımı ve çözümlü örnekler.
1. sinx = a Denklemi
k ∈ Z olmak üzere sinx = a denkleminin kökleri,
x1 = ϑ + k.2π
x2 = π – ϑ + k.2π
Örnek:
sinx = 1/2 denklemini sağlayan x değerlerini 0 – 360° aralığında bulunuz.
Çözüm:
sin30 = 0,5 olduğundan,
x1 = 30 + 0.2π = 30°
x2 = 180 – 30 + 0.2π = 150°
Burada denklemin köklerini 0 – 360° aralığı için bulduk. 1. ve 2. Bölgede sinx değeri pozitif, 3. Ve 4. Bölgede negatiftir. Bu nedenle 0 – 360° aralığındaki pozitif değerleri bulmak için k değerini 0 yapmalıyız. Aşağıda 0 – 360 arasına sıkıştırılmamış köklerinin bulunması gösterilmiştir.
Örnek:
sinx = 1 / 2 denkleminin köklerini bulunuz.
Çözüm:
sin30 = 0,5
x1 = 30 + k.2π
x2 = 180 – 30 + k.2π
k = 0 için,
x1 = 30 + 0.2π = 30°
x2 = 180 – 30 + 0.2π = 150°
k = 1 için,
x1 = 30 + 360
= 390
390° nin esas ölçüsü 30° dir. Bu esas ölçü, k tamsayısının her değeri için aynı kalır değişmez.
k = - 1 için,
x1 = 30 + ( - 1).2π
= 30 – 360 = - 330
- 330° nin esas ölçüsü kaç derecedir? İnceleyelim,
-330 + 360 = x
x = 30°
k tamsayısının negatif değerleri için de esas ölçümüz değişmemektedir. O halde k’nın tamsayı değerleri için 1. Kök,
x | x = 30 + k.360, k ∈ Z
olur.
2. kökü inceleyelim.
k = 1 için,
x2 = 180 – 30 + k.2π
x2 = 180 – 30 + 1.360
x2 = 150 + 360= 510
510° nin esas ölçüsü nedir? Onu inceleyelim.
510 = 360 + x
x = 150°
x2 kökü için de k tamsayısının her değeri için esas ölçü değişmemektedir.
k = – 1 için,
x2 = 180 – 30 – 360
x2 = – 210°
– 210 + 360 = x
x = 150
k sayısının negatif tüm değerleri için durum aynıdır. Esas ölçü 150 derece olur. O halde,
x = 150 + k.360, k ∈ Z
1. ve 2. Kökleri birleştirelim.
Ç = {x | x = 30 + k.360 V x = 150 + k.360, k ∈ Z}
Bu çözüm kümesinde 360°yerine 2π de kullanılabilir.
Ç = {x | x = π/6 + k.2π V x = 5π/6 + k.2π, k ∈ Z}
2. sin(ax + b) = c denklemi
Örnek:
sin(3x – 15) = √3/2
Denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm:
sin(3x – 15) = √3/2 ise,
sin60 = sin120 = √3/2 olduğundan,
1. kök
3x1 – 15 = 60 + k.360
3x1 = 75 + k.360
x1 = 75/3 + k.120
x1 = 25 + k.120
Ç1 = {x | x = 25 + k.120, k ∈ Z}
2. kök
3x2 – 15 = 120 + k.360
3x2 = 135 + k.360
x2 = 45 + k.120
Ç2 = {x | x =45 + k.120, k ∈ Z}
Bu iki çözüm kümesinin birleşimi,
Ç1UÇ2 = {x | x = 25 + k.120 V x =45 + k.120, k ∈ Z}
Bu denklemler de k yerine hangi tamsayı konulursa konulsun, esas açıyı değiştirmeyecektir. Dolayısıyla köklerin değeri değişmez.
Örnek:
Sinx = 0 denklemini çözünüz.
Çözüm:
Sinx = 0 ise,
x = k.180, x = k.0 veya x = k.360° dir.
y = sinϑ denkleminin kökleri,
x1 = ϑ + k.2π
x2 = π – ϑ + k.2π
ϑ = 0 için,
x1 = 0 + k.2π
x2 = π – 0 + k.2π
x2 = π + k.2π
x1 kökünün çözüm kümesi tüm k tamsayılar kümesidir.
x2 kökünün çözüm kümesi, yine tamsayılar kümesidir. Her iki kökte k hangi değeri alırsa alsın 0 eşitliğini sağlar. Buna göre,
Ç.K = {x | x = k.π, k ∈ Z}
Örnek:
Sin(6x – 27) = √2/2 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm:
Sin45 = √2/2 olduğundan,
x1 = ϑ + k.2π
x2 = π – ϑ + k.2π
1. kök,
6x1 – 27 = 45 + k.360
6x1 = 72 + k.360
x1 = 12 + k.60
2. kök,
6x2 – 27 = 180 – 45 + k.360
6x2 – 27 = 135 + k.360
6x2 = 162 + k.360
x2 = 27 + k.60
Ç.K1 = {x | x = 12 + k.60, k ∈ Z}
Ç.K2 = {x | x = 27 + k.60, k ∈ Z}
Ç.K = {x | x = 12 + k.60 V x = 27 + k.60, k ∈ Z}
Yarım Açı Formülleri
Trigonometrik cosx Denklemleri
SANATSAL BİLGİ
18/05/2019