TÜREV ALMA KURALLARI

Matematik dersi, türevler konusu. Türev almada genel kurallar. Sabit, üslü, katsayılı fonksiyonların ve toplam, çarpım bölüm halindeki fonksiyonların türevlerini alma kuralları. Konu anlatımı.

1. Sabit Fonksiyonların Türevi

c ϵ R olmak üzere,

f(x) = y = c ise,

f’(x) = 0 dır.

Sabit fonksiyonların türevi 0’dır.

Örnek:

f(x) = 36 ise,

f’(x) = 0 dır.

2. Üslü Fonksiyonların Türevi

n ϵ R olmak üzere,

f(x) = Xⁿ ise,

f’(x) = n.X^{n – 1}   

Üslü bir fonksiyonun türevi alınırken, terimin tabanı, terimin kuvveti ile çarpılır ve terimin kuvveti 1 azaltılır.

Örnek:

f(x) = X⁹ olduğuna göre f’(x) kaçtır?

Çözüm:

f’(x) = 9.X^{(9 -1 )} = 9.X⁸

Örnek:

f’(x) fonksiyonunu bulunuz.

Çözüm:

f(x) = X^-5 

f’(x) = ( - 5). X^-6

f’(x) = - 5.X^-6

3. Katsayılı Fonksiyonların Türevi

c ϵ R ve c sabit bir sayı olmak üzere,

y = c.f(x) ise,

y’ = c.f’(x)

Örnek:

 y = 5.x³ olduğuna göre,

y’nin türevini bulunuz.

Çözüm:

y = 5. x³

y’ = 5. (3.x²)

y’ = 15x²

Örnek:

f(x) = 15x⁶ olduğuna göre,

f’(x) fonksiyonunu bulunuz.

Çözüm:

f’(x) = 15. (x⁶)

= 15(6x⁵)

= 90.x⁵

4. İki Fonksiyonun Toplamının ve Farkının Türevi

f ve g fonksiyonları, A ⊂ R üzerinde tanımlı ve x ϵ A noktasında ayrı ayrı türevleri varsa,

f + g fonksiyonu da x noktasında türevlenebilir.

[f(x) + g(x)]’ = f’(x) + g’(x)

Türevlenebilen iki fonksiyonun toplamı ile elde edilen üçüncü fonksiyonun türevi, bu fonksiyonların ayrı ayrı türevlerinin alınıp toplanmasıyla elde edilen fonksiyona eşittir.

Örnek:

f(x) = 3x³

g(x) = 5x²

Olduğuna göre,

h(x) = [f(x) + g(x)] fonksiyonunun türevi nedir?

Çözüm:

h(x) = 3x³ + 5x² dir.

İki yoldan h’(x) i bulabiliriz.

1. Yol

f(x) = 3x³ → f’(x) = 9x²

g(x) = 5x² →g’(x) = 10x

f’(x) + g’(x) = 9x² + 10x

Yukarıda anlattığımız kural gereğince,

h’(x) = f’(x) + g’(x) = = 9x² + 10x

2. Yol

Sırayla her bir terimin toplamını alabiliriz.

h(x) = 3x³ + 5x²

h’(x) ) = (3x³)’ + (5x²)’

h’(x) = 9x² + 10x

5. İki Fonksiyonun Çarpımının Türevi

f ve g fonksiyonları x noktasında türevli iki fonksiyon ise,

f . g fonksiyonu da x noktasında türevlidir.

İki fonksiyonun çarpımının türevi aşağıdaki gibi bulunur.

[f(x) . g(x)]’ = f’(x) . g(x) + f(x) . g’(x)

Örnek:

f(x) = 5x⁶

g(x) = 3x²

Olduğuna göre,

f(x) . g(x) çarpım fonksiyonunun türevini bulunuz.

Çözüm:

İki fonksiyonun çarpımının türevi kuralı,

[f(x) . g(x)]’ = f’(x) . g(x) + f(x) . g’(x)

Yukarıdaki kuraldan,

[f(x) . g(x)]’ = 30x⁵ . 3x² + 5x⁶ .6x

[f(x) . g(x)]’ = 90x⁷ + 30x⁷

= 120x⁷

6. İki Fonksiyonun Bölümünün Türevi

f ve g, x noktasında türevli iki fonksiyon ve g(x) ≠0 ise, f/g fonksiyonu da x noktasında türevlenebilirdir.

Örnek:

Olduğuna göre y’nin türevini bulunuz.

Çözüm:

Yukarıda açıklanan türev kuralına göre,

7. Kök İçeren Fonksiyonların Türevi

Bu tip fonksiyonların türevini alırken kök içindeki sayıyı üslü hale getirmek kolaylık sağlar.

Örnek:

Bir f fonksiyonu,

Şeklinde tanımlanıyor.

Bu fonksiyonun türevi nedir?

Çözüm:

Örnek:

R⁺ →R⁺, f(x) = √x 

Fonksiyonunun türevini bulunuz.

Çözüm:

Türev ve Limit İlişkisi

Fonksiyonların Toplamının Türevi

SANATSAL BİLGİ

02/05/2018