TÜREV İLE FONKSİYON GRAFİĞİ

Matematik dersi, türevin uygulamaları konusu. Türevlerden yararlanarak bir fonksiyonun grafiğinin çizilmesi. Adım adım fonksiyonun grafiğini çizmek. Konu anlatımı ve çözümlü örnek.


Bu konuda fonksiyon grafiğinin türevleri de kullanarak çizilmesi işlenecektir. Adım adım tüm maddelerin uygulanışını gösteren bir örnek verilecektir Örnek zor ve uzun olsa da öğretici olacaktır.


Fonksiyon Grafiğini Çizme Adımları

1. Fonksiyonun tanım kümesi belirlenir.

2. Fonksiyon periyodik ise periyodik olduğu aralıklar tespit edilir.

3. Varsa fonksiyonun asimptotları bulunur.

4. Fonksiyonun eksenleri kestiği noktalar belirlenir.

5. Fonksiyonun 1. Türevi alınarak işareti incelenir ve varsa extremum noktaları bulunur. Artan ve azalan olduğu aralıklar tespit edilir.

6. Fonksiyonun 2. Türevi alınarak konveks ve konkav olduğu aralıklar belirlenir.

7. Elde edilen veriler bir tabloda toplanır. Bu tabloya değişim tablosu denilmektedir.

8. Değişim tablosuna göre fonksiyonun grafiği çizilir.



Bir örnek üzerinden giderek yukarıdaki maddeleri tek tek inceleyelim.

Örnek:

f(x) = x2 -3x -4
x-5




Fonksiyonunun grafiğini çiziniz.


Çözüm:


1. Tanım kümesi

f(x) fonksiyonu x = 5 için tanımsız olur. Diğer durumlarda reel sayılar kümesinde tanımlıdır.

T. K. = R – {5}

2. Fonksiyon periyodik bir fonksiyon değildir.

3. Fonksiyonun asimptotları.

Yatay asimptodu inceleyelim.

limx→-  x2 -3x -4 =∞
x-5




limx→∞+  x2 -3x -4 =∞
x-5




Fonksiyonun yatay asimptodu yoktur.


Düşey asimptoda bakalım.

Turev_grafik3

= +∞

x = 5 doğrusu düşey asimptottur.


4. Fonksiyonun eksenleri kestiği noktalar.

x = 0 için,

y = 0 – 0 – 4 
= 4
5
0 – 5




Fonksiyon y eksenini (0, 4/5) noktasında kesmektedir.

y = 0 için,

0 = (x + 1)(x – 4)

x1 = -1, x2 = 4

Fonksiyon x eksenini (-1, 0) ve (4, 0) noktalarında kesmektedir.


5. Fonksiyonun artan ve azalan olduğu aralıkları ve extremum noktalarını bulalım.

Turev_grafik4



x2 – 10x + 19 = 0

Δ = √b2 – 4ac

= √24


x1 = 10- √24  ≅ 2,6
2




x2 = 10 + √24 ≅ 7,4
2




Fonksiyonun türevini 0 yapan x değerlerini bulduk. Bu değerlerin böldüğü aralıkları inceleyerek fonksiyonun hangi aralıkta artan, hangi aralıkta azalan olduğunu tespit edeceğiz.

1. (-∞, 2,6) aralığı


Turev_grafik6


Fonksiyonun işareti (-∞, 2,6) aralığında pozitiftir. Bu aralıkta f(x) artmaktadır.

2,6 ile 7,4 aralığını test edelim.

Turev_grafik7


Fonksiyon işareti ((2,6), (7,4)) aralığında negatiftir. Bu aralıkta f(x) fonksiyonu azalmaktadır.


(7,4, ∞) aralığı

f’(∞) =(∞)2 -10.(∞) + 19  > 0
(∞-5)2





Fonksiyon işareti (7,4, ∞) aralığında artmaktadır. f(x) fonksiyonu bu aralıkta artandır.

Buna göre fonksiyon sonsuzdan 2,6 noktasına kadar artarak gelmekte, 2,6 ile 7, arasında azalmakta, 7,4 noktasından itibaren tekrar artmaktadır.

6. Fonksiyonun 2. Türevini alarak konveks ve konkav olduğu aralıkları bulalım.


f’(x) = x2 -10x+19
(x-5)2




f’’(x) = (2x-10)(x2 -10x + 25) - (2x-10).(x2-10x+19)
(x-5)4




= 12x-60
(x-5)4




Bu türevi 0’a eşitleyecek nokta x = 5 noktasıdır. Bu noktada fonksiyon tanımsızdır. x = 5 noktası aynı zamanda bir düşey asimptottur. Bu noktada grafik sonsuza gitmektedir. 


Buna göre bir tablo oluşturalım.

Tabloya göre,

1. Fonksiyonun tanım kümesi R – {5} kümesidir.

2. Fonksiyon periyodik bir fonksiyon değildir.

3. Fonksiyonun düşey asimptodu x = 5 doğrusudur.

4. Fonksiyon x eksenini (-1, 0) ve (4, 0) noktalarında, y eksenini (0, 4/5) noktasında kesmektedir.

5. Fonksiyonun işareti (-∞, 2,6) aralığında pozitiftir. Bu aralıkta f(x) artmaktadır.

Fonksiyon işareti (2,6, 7,4) aralığında negatiftir. Bu aralıkta f(x) fonksiyonu azalmaktadır.

Fonksiyon işareti (7,4, ∞) aralığında artmaktadır. f(x) fonksiyonu bu aralıkta artandır.

6. Fonksiyonun konveks veya konkav oluşu ile ilgili bir yorum yapamayız.


Şimdi fonksiyonu çizelim.

Fonksiyon (-∞, 2,6) aralığında artan olduğundan -∞ dan artarak gelecek ve x eksenini (-1, 0) noktasında kesecek daha sonra y eksenini (0, 4/5) noktasında kesecek, x = 2,6 noktasına kadar artmaya devam edecek ve bu noktadan itibaren azalmaya başlayacak, x eksenini bu kez (4,0) noktasında kesecek ve x = 5 doğrusuna doğru sonsuza uzanacaktır. X = 5 doğrusunun sağında x = 7,4 noktasına kadar azalmaya devam edecek fonksiyon, 7,4 noktasından itibaren artmaya başlayacak ve bu şekilde yoluna devam edecektir.


Fonksiyon grafiğini gerçeğe daha çok yaklaştırmak için birkaç nokta da biz belirleyelim.

x = -3 için f(x) = -1,75

x = 3 için f(x) = 2

x = 6 için f(x) = 14

x = 8 için f(x) = 12



Turev_grafik10


Grafik (-3, 1,75) noktasından geçerek x eksenini (-1, 0) noktasından kesmekte ve artarak y eksenine ilerlemektedir. Y eksenini (0, 4/5) noktasında kesen grafik ((2,6), (2,1)) noktasına kadar artarak devam etmektedir. Bu noktada maksimum değerini alan fonksiyon azalışa geçmekte x eksenini bu kez (4, 0) noktasında keserek x = 5 noktasında sonsuza uzanmaktadır. x = 5 doğrusunun sağında fonksiyon değeri pozitif olmaktadır. Pozitif tarafta sonsuzdan gelerek x = 7,4 noktasına kadar azalarak devam eden fonksiyon, x = 7,4 noktasından itibaren tekrar artmaya başlamaktadır. 



Bu soruyu sınavda size sormuş olsam Allah yardımcınız olsun diye bir not eklemeyi ihmal etmezdim. Ama burada cevabı var ve soruda neredeyse herşey mevcut. İyi bir öğretici olur diye düşündüm. Üzerinde çalışarak kendi kendinize yapmayı öğrenirseniz süper olur. Hem matematiğinizi, hem türevlerle işlem yapmayı ve türevi kullanma yeteneğinizi, hem de grafikleri anlama ve çizme yeteneğinizde kendinizi aşarsınız.


Türevin Fizikteki Uygulamaları

Teğet ve Normal Denklemleri



SANATSAL BİLGİ

31/07/2019

  • YORUM YAZ
  • ADI SOYADI(veya nick)
  • YORUM
COPYRIGHT© HER HAKKI SAKLIDIR
Sitede Yer Alan Bilgi Belge Ve Materyallerin İzinsiz olarak Kopyalanması ve Alıntılanması Yasaktır

SANATSAL BILGI