TÜREV KAVRAMI
Matematik dersi, türevler konusu. Türevin tanımı ve hesaplanması. Limit ve türev ilişkisi. Limit hesapları ile türevin bulunması. Konu anlatımı ve örnekler.
Bir fonksiyonda bağımlı değişkende meydana gelen bir değişimin bağımsız değişkendeki değişime oranının (Δy/Δx) limit değerine türev denir.
f(x) = y şeklinde bir fonksiyon düşünelim,
y = f(x) olduğundan, bağımsız değişkendeki artmanın y değişkeninde meydana getireceği değişiklik aşağıdaki gibi bulunur.
Δy = f(x + Δx) – f(x)
Yukarıda f(x) fonksiyonunda x değişkeninde Δx kadar değişiklik yaptığımızda y’de meydana gelen değişme gösterilmiştir. Bu değişme Δy şeklinde gösterilmiştir.
Δy = f(x + Δx) – f(x) olduğuna göre,
| f(x + Δx) – f(x) | şeklinde gösterilir. |
| Δx |
Limitine y = f(x) fonksiyonunun türevi denilir. Burada limitin değeri reel sayı olmak zorundadır. Aksi halde türev yoktur.
Δx = h kabul edilirse türev ifadesi aşağıdaki gibi olur.
Türev Tanımı
A⊂ R, a ϵ A ve f fonksiyonu A’da tanımlı bir fonksiyon olmak üzere,
| Limx → a | f(x) – f(a) |
|
| x - a |
Limiti veya
x = a + h konulmasıyla elde edilen
Limiti varsa f fonksiyonunun a noktasında türevi vardır.
f fonksiyonunun a noktasında türevi varsa bu durum, "f fonksiyonu a noktasında türevlenebilirdir veya f fonksiyonu a noktasında diferansiyellenebilirdir" şeklinde de açıklanır.
f fonkisyonunun türevi aşağıdaki şekillerde gösterilebilir,
Eğer x sadece a’dan büyük değerlerden a’ya yaklaşıyorsa, yani sadece,
limiti varsa ya da,
h değeri sadece pozitif değerlerden 0’a yaklaşıyorsa, yani sadece,
Limiti varsa, f fonksiyonunun türevlerine sağ taraflı türev denir.
Benzer şekilde x sadece a’dan küçük değerlerden a’ya yaklaşıyorsa veya h sadece 0’dan küçük değerlerden 0’a yaklaşıyorsa bu türevler sol taraflı türev adını alır.
Türevi bulma işlemine türev alma adı verilir.
Bir fonksiyonun bir noktada türevinin olması; sağ ve sol türevlerinin mevcut ve birbirine eşit olmasıyla mümkündür.
Türev Alma Örnekleri
Bu bölümde limit ve türev ilişkisinin kavranabilmesi için türev alma işlemleri limitler üzerinden yapılmıştır. Türevler konusu çok uzun bir konudur ve her fonksiyon çeşidinin türevinin nasıl alınacağı ve türev alma kuralları diğer konularda anlatılmıştır.
Örnek – 1
f(x) = 5x2 + 6x – 4 fonksiyonu veriliyor.
f’(x) değerini bulunuz.
Çözüm:
Değerini bulmamız istenmektedir.
Limit içinde yapacağımız açılım ve sadeleştirme işlemlerini kolaylık olması bakımından limit dışında yaparak işlemin en sade halini limit içine alacağız.
f(x+h) = 5. (x+h)2 + 6.(x+h) -4
= 5x2 + 10xh + 5h2 + 6x + 6h – 4
f(x+h) – f(x) = 5x2 + 10xh + 5h2 + 6x + 6h – 4 – 5x2 – 6x + 4
f(x+h) – f(x) =5h2 + 10xh + 6h
| f(x+h) – f(x) | = 5h + 10x + 6 |
| h |
Şimdi bu sonucu limit içine alalım.
= Limh→0 (5h + 10x + 6)
= 5.0 + 10x + 6
= 10x + 6
Buna göre f(x) fonksiyonunun türevi,
10x + 6 dır.
Örnek – 2
f(x) = 8x2 – 3x + 9 fonksiyonu için,
| df(x) | işleminin sonucunu bulunuz. |
| dx |
Çözüm:
8x2 – 3x + 9 fonksiyonunun türevi istenmektedir.
Genel türev bulma kuralından yararlanarak soruyu çözebiliriz.
Burada,
İşlemini, kolaylık olması için limit dışında yapıp, sonucu limit içine koyarak devam edeceğiz.
f(x + h) = 8. (x + h)2 – 3(x + h) + 9
f(x + h) = 8(x2 + 2xh + h2) – 3x – 3h + 9
f(x + h) = 8x2 + 16xh + 8h2 – 3x – 3h + 9
f(x + h) – f(x) = 8x2 + 16xh + 8h2 – 3x – 3h + 9 – 8x2 + 3x – 9
f(x + h) – f(x) = 8h2 + 16xh – 3h
| f(x + h) – f(x) | = 8h + 16x – 3 |
| h |
Şimdi bu sonucu limit içine alalım.
= Limh→0 (8h + 16x – 3)
= 8.0 + 16x – 3
= 16x – 3
Örnek – 3
f(x) = 5x3 + 6x – 4 fonksiyonunun x = 0 noktasındaki türevini hesaplayınız.
Çözüm:
Bu soru için aşağıdaki türev tanımını kullanırız.
a yerine 0 koyarsak,
f(x) – f(0) = 5x3 + 6x – 4 –(0 + 0 – 4 )
f(x) – f(0) = 5x3 + 6x
bu sonucu limit içerisine koyalım.
= Limx→0 (5x2 + 6)
= 0 + 6
= 6
f’(0) = 6
Türev Alma Kuralları
SANATSAL BİLGİ
01/05/2018