TÜREV KAVRAMI

Matematik dersi, türevler konusu. Türevin tanımı ve hesaplanması. Limit ve türev ilişkisi. Limit hesapları ile türevin bulunması. Konu anlatımı ve örnekler.



Bir fonksiyonda bağımlı değişkende meydana gelen bir değişimin bağımsız değişkendeki değişime oranının (Δy/Δx) limit değerine türev denir.

f(x) = y şeklinde bir fonksiyon düşünelim,

y = f(x) olduğundan, bağımsız değişkendeki artmanın y değişkeninde meydana getireceği değişiklik aşağıdaki gibi bulunur.

Δy = f(x + Δx) – f(x)

Yukarıda f(x) fonksiyonunda x değişkeninde Δx kadar değişiklik yaptığımızda y’de meydana gelen değişme gösterilmiştir. Bu değişme Δy şeklinde gösterilmiştir.

Δy = f(x + Δx) – f(x) olduğuna göre,

Δy oranı,
Δx



f(x + Δx) – f(x) şeklinde gösterilir.
Δx




TurevKavram_K1I1


Limitine y = f(x) fonksiyonunun türevi denilir. Burada limitin değeri reel sayı olmak zorundadır. Aksi halde türev yoktur.

Δx = h kabul edilirse türev ifadesi aşağıdaki gibi olur.

TurevKavram_K1I2


Türev Tanımı

A⊂ R, a ϵ A ve f fonksiyonu A’da tanımlı bir fonksiyon olmak üzere,

Limx → a  f(x) – f(a)
x - a





Limiti veya

 x = a + h konulmasıyla elde edilen

TurevKavram_K1I3


Limiti varsa f fonksiyonunun a noktasında türevi vardır.

f fonksiyonunun a noktasında türevi varsa bu durum, "f fonksiyonu a noktasında türevlenebilirdir veya f fonksiyonu a noktasında diferansiyellenebilirdir" şeklinde de açıklanır.


f fonkisyonunun türevi aşağıdaki şekillerde gösterilebilir,

f’(x),df(x)
, Df(x), dy
dx
dx





Eğer x sadece a’dan büyük değerlerden a’ya yaklaşıyorsa, yani sadece,

TurevKavram_K1I4

limiti varsa ya da,

h değeri sadece pozitif değerlerden 0’a yaklaşıyorsa, yani sadece,

TurevKavram_K1I5


Limiti varsa, f fonksiyonunun türevlerine sağ taraflı türev denir. 

Benzer şekilde x sadece a’dan küçük değerlerden a’ya yaklaşıyorsa veya h sadece 0’dan küçük değerlerden 0’a yaklaşıyorsa bu türevler sol taraflı türev adını alır.

TurevKavram_K1I6



Türevi bulma işlemine türev alma adı verilir. 

Bir fonksiyonun bir noktada türevinin olması; sağ ve sol türevlerinin mevcut ve birbirine eşit olmasıyla mümkündür.

Türev Alma Örnekleri


Bu bölümde limit ve türev ilişkisinin kavranabilmesi için türev alma işlemleri limitler üzerinden yapılmıştır. Türevler konusu çok uzun bir konudur ve her fonksiyon çeşidinin türevinin nasıl alınacağı ve türev alma kuralları diğer konularda anlatılmıştır.

Örnek – 1 

f(x) = 5x2 + 6x – 4 fonksiyonu veriliyor.

f’(x) değerini bulunuz.


Çözüm:

TurevKavram_K1I2B


Değerini bulmamız istenmektedir.

Limit içinde yapacağımız açılım ve sadeleştirme işlemlerini kolaylık olması bakımından limit dışında yaparak işlemin en sade halini limit içine alacağız.

f(x+h) = 5. (x+h)2 + 6.(x+h) -4

= 5x2 + 10xh + 5h2 + 6x + 6h – 4

f(x+h) – f(x) = 5x2 + 10xh + 5h2 + 6x + 6h – 4 – 5x2 – 6x + 4

f(x+h) – f(x) =5h2 + 10xh + 6h

f(x+h) – f(x) 
= 5h2 + 10xh + 6h
h
h





f(x+h) – f(x)  = 5h + 10x + 6
h




Şimdi bu sonucu limit içine alalım.

TurevKavram_K1I2C


= Limh→0 (5h + 10x + 6)

= 5.0 + 10x + 6 

= 10x + 6

Buna göre f(x) fonksiyonunun türevi,

10x + 6 dır.


Örnek – 2 

f(x) = 8x2 – 3x + 9 fonksiyonu için,

df(x) işleminin sonucunu bulunuz.
dx




Çözüm:

8x2 – 3x + 9 fonksiyonunun türevi istenmektedir.

Genel türev bulma kuralından yararlanarak soruyu çözebiliriz.

 TurevKavram_K1I2D

Burada,

f(x + h) – f(x)
h



İşlemini, kolaylık olması için limit dışında yapıp, sonucu limit içine koyarak devam edeceğiz.

f(x + h) = 8. (x + h)2 – 3(x + h) + 9

f(x + h) = 8(x2 + 2xh + h2) – 3x – 3h + 9

f(x + h) = 8x2 + 16xh + 8h2 – 3x – 3h + 9

f(x + h) – f(x) = 8x2 + 16xh + 8h2 – 3x – 3h + 9 – 8x2 + 3x – 9 

f(x + h) – f(x) = 8h2 + 16xh – 3h


f(x + h) – f(x)  
= 8h2 + 16xh – 3h
h
h





f(x + h) – f(x)  = 8h + 16x – 3
h




Şimdi bu sonucu limit içine alalım.

= Limh→0 (8h + 16x – 3)

= 8.0 + 16x – 3 

= 16x – 3



Örnek – 3 

f(x) = 5x3 + 6x – 4 fonksiyonunun x = 0 noktasındaki türevini hesaplayınız.


Çözüm:

Bu soru için aşağıdaki türev tanımını kullanırız.

TurevKavram_K1I8


a yerine 0 koyarsak,

TurevKavram_K1I9



f(x) – f(0) = 5x3  + 6x – 4 –(0 + 0 – 4 )

f(x) – f(0) = 5x3 + 6x


f(x) – f(0) 
= 5x3 + 6x
x
x





f(x) – f(0)  = 5x2 + 6
x




bu sonucu limit içerisine koyalım.

= Limx→0 (5x2 + 6)

= 0 + 6

= 6

f’(0) = 6


Türev Alma Kuralları



SANATSAL BİLGİ

01/05/2018

  • YORUM YAZ
  • ADI SOYADI(veya nick)
  • YORUM
COPYRIGHT© HER HAKKI SAKLIDIR
Sitede Yer Alan Bilgi Belge Ve Materyallerin İzinsiz olarak Kopyalanması ve Alıntılanması Yasaktır

SANATSAL BILGI