TÜREVLER TEST II ÇÖZÜMLERİ

Üslü fonksiyonlarda türev, bileşke ve ters fonksiyonlarda türev. Toplam, çarpım ve bölüm halindeki fonksiyonlarda türev. Çözümlü testin çözümleri.


Çözüm – 1

Soruda bir türevin bir noktadaki limit tanımını bilme ve kullanma becerisi üzerinde durulmuştur.

Bir fonksiyonun bir a noktasındaki türevi aşağıdaki eşitlikle verilir.

f’(a) = limh→0 f(a + h) – f(a)
h




a = 2 için

f’(2) = limh→0 f(2 + h) – f(2) 
h




f’(2) = 10 olarak verilmiştir, öte yandan


f(x) = 4x2 – ax ise,

f’(x) = 8x – a

f’(2) = 16 – a olur.

16 – a = 10 olduğundan,

16 – a = 10 

a = 6 bulunur.

Doğru cevap C seçeneği.


Çözüm – 2 

limh→0 f(3 + h) - f(3)
h




Yukarıdaki limit, f(x) fonksiyonunun x = 3 noktasındaki türevini verir. Yani,

f’(3) = 2 dir.

f(x) fonksiyonunun x = 3 noktasındaki türevini bulalım.

f(x) = x2 + b
x + 1




f'(x) = (x2+ b)’.(x + 1) – (x + 1)’ . (x2 + b)
(x + 1)2




f'(x) = (2x) . (x + 1) – 1.(x2 + b)
(x + 1)2




f'(x) = 2x2 + 2x – x2 – b
(x + 1)2




f'(x) = x2 + 2x – b
(x + 1)2




f'(3) = 9 + 6 – b
16




2 = 15 - b
16




32 =15 - b

b = -17 olarak bulunur.


Doğru cevap E seçeneği.


Çözüm – 3 

f(x) = x2 + x – 5

g(x) = x2 + 3


f/g bölüm fonksiyonunun türevi aşağıdaki gibi bulunur.

[f(x) 
]' = f’(x) . g(x) – g’(x).f(x)
[g(x)]2
g(x)




Buna göre önce bölme işleminin türevini bulalım.

[ f(x)
]' = (x2 + x – 5)’ . (x2 + 3) – (x2 + 3)’ . (x2 + x – 5)
(x2 + 3)2
g(x)





= (2x + 1)(x2 + 3) – 2x.(x2 + x – 5)
(x2 + 3)2




= 2x3 + 6x + x2 + 3 – 2x3 – 2x2 + 10x
(x2 + 3)2




= -x2 + 16x + 3
(x2 + 3)2




[f 
]’(1)= -1 + 16 + 3
42
g




= 18
16



= 9
8




Doğru cevap B seçeneği.


Çözüm – 4 

f(x) = (x2 + 5x – 6)

g(x) = 3x + 4

İki fonksiyonun çarpımının türevi,

[f. g]’ (x)= f’(x) . g(x) + g’(x) . f(x) şeklindedir.

f’(x) = 2x + 5

g’(x) = 3

[f. g]’ (x)=(2x + 5)(3x + 4) + 3.(x2 + 5x – 6)

[f. g]’ (1)=(2 + 5)(3 + 4) + 3.(1 + 5 – 6)

= 49


Doğru cevap E seçeneği.


Çözüm – 5 

Pay ifadesine g(u), paydadaki ifadeye h(u) dersek,

g(u) = u2 – 4u

h(u) = 2u2 + 3u 

f(u) = g(u)/h(u) şeklinde bir fonksiyon olur. İki fonksiyonun bölümünün türevi aşağıdaki gibi tanımlanmıştır.

[g(u)
]’ = g’(u) . h(u) – h’(u).g(u)
[h(u)]2
h(u)





g’(u) = 2u – 4

h’(u) = 4u +3 

f’(u) =(2u – 4)(2u2 + 3u) – (4u + 3)(u2 – 4u)
(2u2 + 3u)2




=4u3 + 6u2 – 8u2 – 12u – [4u3 – 16u2 + 3u2 – 12u)
(2u2 + 3u)2




f’(u) =11u2
(2u2 + 3u)2




f’(-1) =11
1




= 11

Doğru cevap A seçeneği.


Çözüm – 6 

f(x) = x3 – 5

g(x) = x + 2

1. yol

İki fonksiyonun bileşkesinin türevi aşağıdaki gibi hesaplanır.

(fog)’(x) = f’[g(x)] . g’(x)

Bu eşitlik bize önce f(x) fonksiyonun türevinin bulunacağını, sonra bu türevde x yerine g(x) fonksiyonunun yazılacağını ve elde edilen fonksiyonun g(x) fonksiyonunun türevi ile çarpılacağını açıklar.

f’(x) = 3x2

(fog)’(x) = 3(x + 2)2 = 3x2 + 12x + 12

g’(x) = 1

(fog)’(x) = 3x2 + 12x + 12


2. Yol

Önce fonksiyonların bileşkesi bulunur, sonra türev alınır.

fog(x) = (x + 2)3 - 5

= x3 + 6x2 + 12x + 8 - 5

= x3 + 6x2 + 12x + 3

[fog(x)]' = 3x2 + 12x + 12


Doğru cevap C seçeneği.


Çözüm – 7

Üslü bir fonksiyonun türevi aşağıdaki gibi hesaplanır.

f(x) = (axn + b)m ise,

f’(x) = m.(axn + b)(m-1) . (axn + b)’

Bu eşitliği sorumuza uygulayalım.

f(x) = (3x2 + 9x)5

f’(x) = 5.(3x2 + 9x)4 . (3x2 + 9x)’

= 5(3x2 + 9x)4 . (6x + 9)

f’(-1) = 5.(3 – 9)4 . (-6 + 9)

= 5. (-3)4 . 3

= 5.81.3

= 1215


Doğru cevap D seçeneği.


Çözüm – 8 

Yolun zamana göre 1. Türevi hızı vermektedir.

x = t4 – 2t2 + 10 (m)

dx/dt = 4t3 – 4t 

V = 4t3 – 4t

t = 3 için,

V = 4.33 – 4.3

= 96 m/s


Doğru cevap B seçeneği.


Çözüm – 9

Yolun zamana göre ikinci türevi ivmeyi verir. Bir önceki soruda yolun zaman göre 1. türevinin hızı verdiğini işlemiştik. Bu soruda yolun zamana göre 2. türevinin, hızın ise zamana göre 1. türevinin ivmeyi verdiğini göstereceğiz.


x = 2t3 – 3t + 6

1. türev hızı verir.

dx/dt = 6t2 – 3

V = 6t2 – 3 

Tekrar türev aldığımızda yolun 2. Hızın 1. Türevini almış oluyoruz.

dV/dt = 12t

a = 12t

t = 4 için,

a = 48 m/s2


Doğru cevap A seçeneği.


Çözüm – 10 

y = 2x + 6
x – 8




f-1(y) fonksiyonunu bulalım.

y = 2x + 6
x – 8




x = 2y + 6
y – 8



xy – 8x = 2y + 6


2y – xy = 8x + 6

y(2 – x) = 8x + 6

y = 8x + 6
2 – x




f-1(x) = 8x + 6
2 – x




Şimdi bu ters fonksiyonun türevini alalım.

f-1(x) =(8x + 6)’ . (2 – x) – (2 – x)’ . (8x + 6)
(2 – x)2




 =8.(2 – x) – (-1).(8x + 6)
(2 – x)2




=16 – 8x + 8x + 6
(2 – x)2




=22
(2 – x)2




x = 1 için

(f-1)’(1) = 22


Doğru cevap D seçeneği


Çözüm – 11 

1. Yol

Türev kuralı

f’(x0) . (f-1)’(y0) = 1 şeklindedir.


Bu eşitlikten (f-1)’(y0) türevini çekersek,

(f-1)’(y0) =1
f'(x0)




Burada y0 = 4 olmalıdır.

Ayrıca y0 değerini,

y = x4 + 3 eşitliğinden çekmeliyiz.

y = 4 olması için x = 1 olmalıdır. Bu durumda

(f-1)’(4) =1
f'(1)




f’(x) = 4x3 olduğundan,

f’(1) = 3

(f-1)’(y0) =1 olur.
4



2. Yol önce fonksiyonun tersini alıp sonra değerini bulalım.

y = x4 + 3

x = y4 + 3

x – 3 = y4

y = (x – 3)1/4

f-1(x) = (x – 3)1/4

(f-1)’(x) =1.(x – 3)(1/4 – 1) . (x – 3)’
4



= 1 .(x – 3)(3/4)
4




(f-1)’(x) = 1
4




Doğru cevap B seçeneği.


Çözüm – 12

f(x) = x2 – 3x + 2
x – 2




g(x) = x + 3

önce [fog](x) işlemini yapalım.

f[g(x)] = (x + 3)2 – 3(x + 3) + 2
x + 3 – 2




=x2 + 6x + 9 – 3x – 9 + 2
x + 1




=x2 + 3x + 2
x + 1




=(x + 1)(x + 2)
x + 1




= x + 2

[fog]’(x) = 1 olur.


2. yol

Türev kuralı ile yapalım. Bazı durumlarda bu kural işi kolaylaştırırken, bazı durumlarda uzatmaktadır.

[fog]’(x) = f’[g(x)] . g(x)’


f’(x) = (x2 – 3x + 2)’.(x – 2) – (x – 2)’ . (x2 – 3x + 2)
(x – 2)2




f’(x) =(2x – 3)(x – 2) – (x2 – 3x + 2)
(x – 2)2




=2x2 – 4x – 3x + 6 – x2 + 3x – 2
(x – 2)2




=x2 – 4x +4
(x – 2)2




= (x – 2)2
(x – 2)2




= 1

Ayrıca g’(x) = 1 olduğundan,

f’[g(x)] . g(x)’ = 1.1 = 1

Doğru cevap E seçeneği.


Çözüm – 13

t(x) = 2x√(x2 +3)

Burada fonksiyon f(x) değil de t(x) fonksiyonudur. Yani sadece fonksiyonun adı değişiktir.

y = 2x√(x2 +3)   

Bu fonksiyonu üslü biçimde yazalım.

y = 2x.(x2 + 3)(1/2)

Fonksiyonlarda çarpma türevi ve üslü fonksiyonların türevini birarada kullanmalıyız.

Turev_t2c13


= 2.4
(4)1/2




= 8
2



= 4

Doğru cevap c seçeneği.


Test Soruları

Çözümlü Türev Soruları -1

Çözümlü Türev Soruları III (Trigonometrik)


SANATSAL BİLGİ

14/03/2019

  • YORUM YAZ
  • ADI SOYADI(veya nick)
  • YORUM

COPYRIGHT© HER HAKKI SAKLIDIR
Sitede Yer Alan Bilgi Belge Ve Materyallerin İzinsiz olarak Kopyalanması ve Alıntılanması Yasaktır

SANATSAL BILGI