TÜREVLER TEST III ÇÖZÜMLERİ

12. sınıflar ve üniversiteye hazırlık matematik dersi, türevler konusu. Trigonometrik ve ters trigonometrik fonksiyonların türevleri ile ilgili çözümlü sorular.

Çözüm – 1

f(x) = 4sin(8x) + 12cos(2x³)

f’(x) fonksiyonunu bulmak için herbir terimin ayrı ayrı türevini alalım.

4sin(8x) = y1 olsun.

y1’ = (8x)’.4cos(8x) = 32cos(8x)

12cos(2x³) = y2 olsun.

y2’ = (2x³)’ . 12(-sin(2x³))

= -72x²sin(2x³)

f’(x) = y1’ + y2’

= 32cos(8x) – 72x²sin(2x³)

Doğru cevap B seçeneği.

Çözüm – 2 

y = sin⁶(x³) 

Üslü bir fonksiyonun türevi alınırken üs ile ana fonksiyon çarpılır, üs 1 azaltılır, daha sonra fonksiyonun üssüz biçimde türevi alınır. Bu kural trigonometrik fonksiyonlar için de aynıdır, değişmez.

Doğru cevap D seçeneği.

Çözüm – 3 

f(x) = 2sin⁴(3x) + 3cos³(2x)

f(x) = g(x) + h(x) olsun.

= 0

Doğru cevap C seçeneği.

Çözüm – 4 

f(x) = sin(sinx)

g(x) = cos(sinx)

f(x) ve g(x) fonksiyonları f(u(x)) biçiminde fonksiyonlardır.

f(x) fonksiyonu, 

f(x) = sin u(x) biçiminde bir fonksiyondur. Bu fonksiyonun türevi aşağıdaki gibi bulunur.

f’(x) = u’(x).cosu(x)

u(x) = sinx

u’(x) = cosx

f’(x) = cosx.cos(sinx)

g(x) fonksiyonu,

g(x) = cosu(x) biçiminde bir fonksiyondur. Bu fonksiyonun türevi aşağıdaki gibi bulunur.

g’(x) = u’(x).(-sinu(x))

u(x) = sinx

u’(x) = cosx

f’(x) = -cosx.sin(sinx)

Doğru cevap A seçeneği.

Çözüm – 5 

f(x) = e^5sinx – 5^3cosx

e^u(x) şeklindeki bir fonksiyonun türevi,

u’(x).e^u(x) şeklindedir.

a^u(x) biçimindeki bir fonksiyonun türevi,

u’(x).a^u(x).ln a şeklindedir.

[e^5sinx]’ = 5cosx.e^(5sinx) 

[5^3cosx]’ = -3sinx.5^(3cosx).ln5

f’(x) = 5cosx.e^(5sinx) – (-3sinx.5^(3cosx).ln5)

= 5cosx.e^(5sinx) + 3sinx.5^(3cosx).ln5

f’(π) = 5cos(π).e^5sin(π) + 3sin(π).5^(3cos(π). ln5

f’(π) = 5.1.1 + 3.0

= 5

Doğru cevap C seçeneği.

Çözüm – 6 

f(x) = Sin² 6x + cos² 6x

Fonksiyonu ikiye ayırırsak daha kolay yapabiliriz.

f(x) = g(x) + h(x)

g(x) = sin² 6x

h(x) = cos² 6x

g’(x) = 2sin^{(2 – 1)}6x . (6x)’.cos6x

= 2sin6x . 6. Cos6x

= 6.2sin6x.cos6x

2sin6x.cos6x = sin12x olduğundan,

g’(x) = 6sin12x olur.

Benzer şekilde,

h’(x) = 2cos6x . 6 . (–sin6x)

=–6.2cos6x.sin6x

= –sin12x

f’(x) = 6sin12x – (–6sin12x)

=12sin12x

Doğru cevap B seçeneği.

Çözüm – 7 

f(x) = 5tan(x³ – 2x + 1)

tan u(x) fonksiyonunun türevi, u’(x).[1 + tan²u(x)] şeklindedir. Buna göre,

f’(x) = 5.(x³ – 2x + 1)’ [1 + tan²(x³ – 2x + 1]

=5.(3x²– 2) . [1 + tan²(x³ – 2x + 1)]

f’(1) = 5.(3 – 2).[1 + tan²(1 – 2 + 1)]

= 5[1 + tan²(0)

= 5

Doğru cevap E seçeneği.

Çözüm – 8 

y = tanu(x) ise y’ = u’(x).[1 + tan²u(x)] tir.

y = tan(sinx)

u = sinx

u’ = cosx

y’ = cosx . [1 + tan²(sinx)]

= cosx . sec²(sinx)

x = π için,

= -1

Doğru cevap C seçeneği.

Çözüm – 9 

f(x) = tanx . cotx

Fonksiyonların çarpımında türev kuralı,

[f.g]’ = f’.g + g’f şeklindedir. Öyleyse,

f’(x) = (tanx)’.cotx + (cotx)’.tanx

= 0

Doğru cevap E seçeneği.

Çözüm – 10

y = cotu(x)

y’ = –u’(x).[1 + cot²u(x)]

= –u’(x) . cosec²u(x)

f(x) = cot3x²

u = 3x²

u’ = 6x

f’(x) = -6xcosec²(3x²)

Doğru cevap A seçeneği.

Çözüm – 11 

= 2

Doğru cevap C seçeneği

Çözüm – 12

f(x) = arctan(3x² – 1)

Bu fonksiyonun türevi,

= 6/5

Doğru cevap D seçeneği.

Çözüm – 13

f(x) = arccos(2x² + 5x)

= – 5

Doğru cevap B seçeneği.

Türevler Test -3 Soruları

Türevler Çözümlü Test -2

SANATSAL BİLGİ

03/04/2019