ÜSLÜ FONKSİYONLARIN TÜREVİ

Matematik dersi, türevler konusu. Bir fonksiyonun n. dereceden kuvvetinin türevini bulmak. Üslü fonksiyonların türevlerini hesaplama. Konu anlatımı ve çözümlü örnekler.



n ϵ R olmak üzere,

y = f(x)n şeklinde bir fonksiyon olsun. Bu fonksiyonun türevi,

{[f(x)]n}’ = n.[f(x)](n – 1) . f’(x)

Şeklindedir.


İspatı:

Bir f(x) fonksiyonu ile g(x) fonksiyonlarının çarpımının türevi, aşağıdaki gibi alınmaktaydı.

[f(x) . g(x)]’ = f’(x) . g(x) + g’(x).f(x)

Buna göre f(x) fonksiyonunun 2. kuvveti,

[f2(x)] = f(x) . f(x) tir.

n = 2 için, f(x) fonksiyonunun 2. kuvvetinin türevi,

[f2(x)]’ = f’(x) . f(x) + f(x) . f’(x) olur.

f’(x) . f(x) + f(x) . f’(x) = 2 . f(x) . f’(x) 

[f2(x)]’ = 2 . f(x) . f’(x) olur.

Şimdi n = 3 için, f(x) fonksiyonunun 3. kuvvetini alalım.

{[f(x)]3}’ = {[f(x)]2 . f(x)}’

= 2.f(x) . f’(x) .f(x) + [f(x)]2 . f’(x)

= 2[f(x)]2 . f’(x) + [f(x)]2 . f’(x)

= 3. [f(x)]2 . f’(x)

n ϵ N olmak üzere n sayısının değerini artırırsak yukarıdaki kural devam eder. Bu kuralı aşağıdaki gibi genelleştirebiliriz.

{[f(x)]n}’ = n.[f(x)](n – 1) . f’(x)



2. İspat

y = [f(x)]n


Burada "y" ifadesi xn ve f(x) fonksiyonlarının bileşkesinden meydana gelmiş gibi düşünebiliriz.

f(x) = x,

g(x) = xn olsun;

f(x)n = (gof)(x) olur. Bileşke fonksiyonun türevi,

(gof)’(x) = g’(f(x)) . f’(x) şeklindedir.

g’(x) = n.x(n-1)

(gof)’(x) = n.(f(x))(n-1) . f’(x)olur.

Buna göre,

y’ = dy = n.(f(x))(n-1) . f’(x) dir.
dx




y = [f(x)]n olsun, f(x) fonksiyonu x noktasında türevli olmak üzere,

u = f(x) olursa, 

y = [f(x)]n = un olur.

n.[f(x)](n – 1) = n. u(n – 1)

n. u(n – 1)= dy
dx




f’(x) =dy olduğundan,
dx




y’ =dy
dx



y’ =dy
.du
dx
du




Bu kurala zincir kuralı denir.


Örnek:

y = (3x + 5)5 fonksiyonunun türevini hesaplayınız.


Çözüm:

f(x) = 3x + 5 = u olsun,

f5(x) = y olsun.

y = u5  olur.


dy 
= dy 
.du
dx
du
dx




dy = 5.(3x + 5)4
du




du = 3
dx




dy
.du = 5. (3x + 5)4 . 3
dx
du




= 15(3x + 5)4


Örnek:

f(x) = (x2 + 5x)4 fonksiyonunun türevini bulunuz.


Çözüm:

f(x) fonksiyonu (goh)(x) fonksiyonundan oluşsun,

g(x) = x4,

h(x) = (x2 + 5x) olsun.

(goh)’(x) = g’(h(x)) . h’(x)

= 4. (x2 + 5x)3 . (2x + 5)

= 4.(x6 + 15x5 + 75x4 + 125x3)(2x + 5)

= 4. (2x7 + 30x6 + 150x5 + 250x4 + 5x6 + 75x5 + 375x4 + 625x3)

= 4 .(2x7 + 35x6 + 225x5 + 625x4 + 625x3)

= 8x7 + 140x6 + 900x5 + 2500x4 + 2500x3


Örnek:

y = (3x2 + 2x)4

Fonksiyonu veriliyor.

y fonksiyonunun türevinde derecesi 5 olan terimin katsayısı kaçtır?


Çözüm:

y = [f(x)]n ise,

y’ = n. [f(x)](n – 1) . f’(x)

Bağıntısına göre türevi bulalım.

 Burada f(x) = (3x2 + 2x) olacaktır.

f’(x) = 6x + 2 olur.

y’ = 4.(3x2 + 2x)3 .(6x + 2)

y’ = 4.(9x6 + 54x5 + 36x4 + 8x3) . (6x + 2)

y’ = 4. (54x7 + 324x6 + 216x5 + 48x4 + 18x6 + 108x5 + 72x4 + 16x3

y’ = 4. (54x7 + 342x6 + 324x5 + 120x4 + 16x3)

y’ = 216x7 + 1368x6 + 1296x5 + 480x4 + 64x3

Buna göre derecesi 5 olan terimin katsayısı 1296’dır.


Örnek:

Uslufncturev_k1r1



Olduğuna göre y’ türevini hesaplayınız.


Çözüm:

Uslufncturev_k1r2


f(x) = x2+3x +2

f’(x) = 2x + 3

y’ = n.[f(x)](n – 1). f’(x)


Uslufncturev_k1r3



Örnek:

Uslufncturev_k1r4


Olduğuna göre dy/dx i hesaplayınız.


Çözüm:

Uslufncturev_k1r5


f(x) = x3+ 6x

f’(x) = 3x2 + 6

Uslufncturev_k1r6


Ters Fonksiyonların Türevi




SANATSAL BİLGİ

17/07/2018

  • YORUM YAZ
  • ADI SOYADI(veya nick)
  • YORUM
COPYRIGHT© HER HAKKI SAKLIDIR
Sitede Yer Alan Bilgi Belge Ve Materyallerin İzinsiz olarak Kopyalanması ve Alıntılanması Yasaktır

SANATSAL BILGI