ÜSLÜ FONKSİYONLARIN TÜREVİ

Matematik dersi, türevler konusu. Bir fonksiyonun n. dereceden kuvvetinin türevini bulmak. Üslü fonksiyonların türevlerini hesaplama. Konu anlatımı ve çözümlü örnekler.

n ϵ R olmak üzere,

y = f(x)ⁿ şeklinde bir fonksiyon olsun. Bu fonksiyonun türevi,

{[f(x)]ⁿ}’ = n.[f(x)]^{(n – 1)} . f’(x)

Şeklindedir.

İspatı:

Bir f(x) fonksiyonu ile g(x) fonksiyonlarının çarpımının türevi, aşağıdaki gibi alınmaktaydı.

[f(x) . g(x)]’ = f’(x) . g(x) + g’(x).f(x)

Buna göre f(x) fonksiyonunun 2. kuvveti,

[f²(x)] = f(x) . f(x) tir.

n = 2 için, f(x) fonksiyonunun 2. kuvvetinin türevi,

[f²(x)]’ = f’(x) . f(x) + f(x) . f’(x) olur.

f’(x) . f(x) + f(x) . f’(x) = 2 . f(x) . f’(x) 

[f²(x)]’ = 2 . f(x) . f’(x) olur.

Şimdi n = 3 için, f(x) fonksiyonunun 3. kuvvetini alalım.

{[f(x)]³}’ = {[f(x)]² . f(x)}’

= 2.f(x) . f’(x) .f(x) + [f(x)]² . f’(x)

= 2[f(x)]² . f’(x) + [f(x)]² . f’(x)

= 3. [f(x)]² . f’(x)

n ϵ N olmak üzere n sayısının değerini artırırsak yukarıdaki kural devam eder. Bu kuralı aşağıdaki gibi genelleştirebiliriz.

{[f(x)]ⁿ}’ = n.[f(x)]^{(n – 1)} . f’(x)

2. İspat

y = [f(x)]ⁿ

Burada "y" ifadesi xⁿ ve f(x) fonksiyonlarının bileşkesinden meydana gelmiş gibi düşünebiliriz.

f(x) = x,

g(x) = xⁿ olsun;

f(x)ⁿ = (gof)(x) olur. Bileşke fonksiyonun türevi,

(gof)’(x) = g’(f(x)) . f’(x) şeklindedir.

g’(x) = n.x^(n-1)

(gof)’(x) = n.(f(x))^(n-1) . f’(x)olur.

Buna göre,

y = [f(x)]ⁿ olsun, f(x) fonksiyonu x noktasında türevli olmak üzere,

u = f(x) olursa, 

y = [f(x)]ⁿ = uⁿ olur.

n.[f(x)]^{(n – 1)} = n. u^{(n – 1)}

Bu kurala zincir kuralı denir.

Örnek:

y = (3x + 5)⁵ fonksiyonunun türevini hesaplayınız.

Çözüm:

f(x) = 3x + 5 = u olsun,

f⁵(x) = y olsun.

y = u⁵  olur.

= 15(3x + 5)⁴

Örnek:

f(x) = (x² + 5x)⁴ fonksiyonunun türevini bulunuz.

Çözüm:

f(x) fonksiyonu (goh)(x) fonksiyonundan oluşsun,

g(x) = x⁴,

h(x) = (x² + 5x) olsun.

(goh)’(x) = g’(h(x)) . h’(x)

= 4. (x² + 5x)³ . (2x + 5)

= 4.(x⁶ + 15x⁵ + 75x⁴ + 125x³)(2x + 5)

= 4. (2x⁷ + 30x⁶ + 150x⁵ + 250x⁴ + 5x⁶ + 75x⁵ + 375x⁴ + 625x³)

= 4 .(2x⁷ + 35x⁶ + 225x⁵ + 625x⁴ + 625x³)

= 8x⁷ + 140x⁶ + 900x⁵ + 2500x⁴ + 2500x³

Örnek:

y = (3x² + 2x)⁴

Fonksiyonu veriliyor.

y fonksiyonunun türevinde derecesi 5 olan terimin katsayısı kaçtır?

Çözüm:

y = [f(x)]ⁿ ise,

y’ = n. [f(x)]^{(n – 1)} . f’(x)

Bağıntısına göre türevi bulalım.

 Burada f(x) = (3x² + 2x) olacaktır.

f’(x) = 6x + 2 olur.

y’ = 4.(3x² + 2x)³ .(6x + 2)

y’ = 4.(9x⁶ + 54x⁵ + 36x⁴ + 8x³) . (6x + 2)

y’ = 4. (54x⁷ + 324x⁶ + 216x⁵ + 48x⁴ + 18x⁶ + 108x⁵ + 72x⁴ + 16x³

y’ = 4. (54x⁷ + 342x⁶ + 324x⁵ + 120x⁴ + 16x³)

y’ = 216x⁷ + 1368x⁶ + 1296x⁵ + 480x⁴ + 64x³

Buna göre derecesi 5 olan terimin katsayısı 1296’dır.

Örnek:

Olduğuna göre y’ türevini hesaplayınız.

Çözüm:

f(x) = x²+3x +2

f’(x) = 2x + 3

y’ = n.[f(x)]^{(n – 1)}. f’(x)

Örnek:

Olduğuna göre dy/dx i hesaplayınız.

Çözüm:

f(x) = x³+ 6x

f’(x) = 3x² + 6

Ters Fonksiyonların Türevi

SANATSAL BİLGİ

17/07/2018