ÜSTEL FONKSİYONLAR

Matematik dersi üstel fonksiyonlar konusu. Üstel fonksiyonların tanımı. Artan ve azalan fonksiyonlar. Üstel fonksiyonların özellikleri. Konu anlatımı ve örnekler.


Tanım:

f(x) reel sayılar kümesinde tanımlı bir fonksiyon,

a ϵ R, a >0 ve a ≠ 1 olmak üzere,

f(x) = ax fonksiyonuna üstel fonksiyon denir.

Burada a sabit bir sayıdır.

Üstel fonksiyon, sabit bir sayının üssünün bir değişkenle belirtildiği bir fonksiyondur.

a sabit sayısına fonksiyonun tabanı denir.

Örneğin;

y= x3x fonksiyonu üstel bir fonksiyon değildir. Çünkü fonksiyonun tabanı değişkendir. 

z = 3x fonksiyonu üstel bir fonksiyondur çünkü taban yukarıdaki tanım koşullarını sağlamaktadır ve üs değişkendir.

t = 35 sayısı üstel bir fonksiyon olamaz, sabit bir sayıdır.

u = 5(-x) fonksiyonu üstel bir fonksiyondur.

u = 1
5x




v = ex fonksiyonu üstel bir fonksiyondur.


Örnek:

y = 81(1/4x) fonksiyonu için 

x = 0; x = 1, x = 2 ve x = -1 değerlerini hesaplayınız.


Çözüm:

814x = 34.1/4x 

= 3-x

x = 0 için,

y = 30

= 1

x = 1 için,

y = 3-1

= 1
3



x = 2 için,

y = 3-2

= 1
9




x = - 1 için,


y = 3-(-1)

= 31

= 3


Artan ve Azalan Fonksiyonlar

a, 1’den farklı pozitif bir reel sayı ve f: R → R+ olmak üzere

Bir f(x) = ax fonksiyonunda,

a > 1 ise f(x) fonksiyonu artan fonksiyondur.

0 < a < 1 ise azalan fonksiyondur.

Nedeni gayet açıktır.

y = ax fonksiyonunda,

a = 5 ve x = 1 için,

y = 51 = 5’tir.

a = 6 ve x = 1 için,

y = 61 = 6’dır.

a = 7 ve x = 1 için,

y = 71 = 7’dir.

Görüldüğü gibi a değeri arttıkça fonksiyonun y değeri de artmaktadır. Böyle fonksiyonlara artan fonksiyon denir.


Eğer a sayısını 0 – 1 aralığında seçersek,

a= 1 ve x = 1 için,
4



y = 1
= 1
4
4




a = 1 ve  x = 1 için,
5



y = 1
5



a = 1 ve x = 1 için,
100




y = 1
100




a > 1 iken, x < 0 ise azalan fonksiyon olur.

0 < a < 1 iken, x < 0 ise artan fonksiyon olur.

Burada x’in işaretine göre uygun ifadeyi yazarak yukarıdaki kural uygulanabilir.

*Üstel fonksiyonlar birebir ve örten fonksiyonlardır.

Üstel fonksiyonlarda değer kümesinin her elemanı tanım kümesinin bir en az bir ve en fazla bir elemanı ile eşleştiğinden üstel fonksiyonlar birebir ve örtendir.


*a > 1 olduğundan f(x) fonksiyonunun görüntü kümesi daima pozitif reel sayılar (R+) kümesidir.

*Üstel fonksiyonların grafikleri daima ox ekseninin üst tarafında yer alır.


Fonksiyonun Değişim Hızı

Bir fonksiyonda [x1, x2] aralığındaki değişim hızı aşağıdaki eşitlikle bulunur.

R = f(x2) – f(x1) eşitliği ile hesaplanır.
x2 – x1




Örnek:

f(x) = 4x fonksiyonu veriliyor.

Bu fonksiyonun [1,5] aralığındaki değişim hızını (oranını) bulunuz.


Çözüm:

Yukarıdaki oran formülünde değerleri yerine koymamız yeterlidir.

R = 45 – 41
5 – 1




R = 1024 – 4
4



= 1020
4




= 255


Örnek:

f(x) = [2]x   
3



fonksiyonunun [2, 5] aralığındaki değişim oranını hesaplayınız.


Çözüm:

R =
[2
]5  –[2]2
3
3

5 – 2




=   
32
–4
9
243

3





= –76
729




Fonksiyon verilen aralıkta azalmaktadır. Azalma hızındaki değişim,

76/729 dur.


Örnek:

f(x) = 45x

g(x) = x(1/5)


gof(x) fonksiyonunu bulunuz. Bileşke fonksiyonun x = 3 için değeri nedir?


Çözüm:

gof(x) fonksiyonunu bulmak için g(x) fonksiyonunda x yazan her yere 45x yazmalıyız.

gof(x) = 4(5x.1/5)

gof(x) = 4x olarak bulunur.


x = 3 için

gof(3) = 43 = 64 olur.


Logaritma Kavramı



SANATSAL BİLGİ

06/04/2019

  • YORUM YAZ
  • ADI SOYADI(veya nick)
  • YORUM

COPYRIGHT© HER HAKKI SAKLIDIR
Sitede Yer Alan Bilgi Belge Ve Materyallerin İzinsiz olarak Kopyalanması ve Alıntılanması Yasaktır

SANATSAL BILGI