ÜSTEL FONKSİYONLAR

Matematik dersi üstel fonksiyonlar konusu. Üstel fonksiyonların tanımı. Artan ve azalan fonksiyonlar. Üstel fonksiyonların özellikleri. Konu anlatımı ve örnekler.

Tanım:

f(x) reel sayılar kümesinde tanımlı bir fonksiyon,

a ϵ R, a >0 ve a ≠ 1 olmak üzere,

f(x) = a^x fonksiyonuna üstel fonksiyon denir.

Burada a sabit bir sayıdır.

Üstel fonksiyon, sabit bir sayının üssünün bir değişkenle belirtildiği bir fonksiyondur.

a sabit sayısına fonksiyonun tabanı denir.

Örneğin;

y= x^3x fonksiyonu üstel bir fonksiyon değildir. Çünkü fonksiyonun tabanı değişkendir. 

z = 3^x fonksiyonu üstel bir fonksiyondur çünkü taban yukarıdaki tanım koşullarını sağlamaktadır ve üs değişkendir.

t = 3⁵ sayısı üstel bir fonksiyon olamaz, sabit bir sayıdır.

u = 5^(-x) fonksiyonu üstel bir fonksiyondur.

v = e^x fonksiyonu üstel bir fonksiyondur.

Örnek:

y = 81^(1/4x) fonksiyonu için 

x = 0; x = 1, x = 2 ve x = -1 değerlerini hesaplayınız.

Çözüm:

81^4x = 3^4.1/4x 

= 3^-x

x = 0 için,

y = 3⁰

= 1

x = 1 için,

y = 3^-1

x = 2 için,

y = 3^-2

x = - 1 için,

y = 3^-(-1)

= 3¹

= 3

Artan ve Azalan Fonksiyonlar

a, 1’den farklı pozitif bir reel sayı ve f: R → R⁺ olmak üzere

Bir f(x) = a^x fonksiyonunda,

a > 1 ise f(x) fonksiyonu artan fonksiyondur.

0 < a < 1 ise azalan fonksiyondur.

Nedeni gayet açıktır.

y = a^x fonksiyonunda,

a = 5 ve x = 1 için,

y = 5¹ = 5’tir.

a = 6 ve x = 1 için,

y = 6¹ = 6’dır.

a = 7 ve x = 1 için,

y = 7¹ = 7’dir.

Görüldüğü gibi a değeri arttıkça fonksiyonun y değeri de artmaktadır. Böyle fonksiyonlara artan fonksiyon denir.

Eğer a sayısını 0 – 1 aralığında seçersek,

a > 1 iken, x < 0 ise azalan fonksiyon olur.

0 < a < 1 iken, x < 0 ise artan fonksiyon olur.

Burada x’in işaretine göre uygun ifadeyi yazarak yukarıdaki kural uygulanabilir.

*Üstel fonksiyonlar birebir ve örten fonksiyonlardır.

Üstel fonksiyonlarda değer kümesinin her elemanı tanım kümesinin bir en az bir ve en fazla bir elemanı ile eşleştiğinden üstel fonksiyonlar birebir ve örtendir.

*a > 1 olduğundan f(x) fonksiyonunun görüntü kümesi daima pozitif reel sayılar (R⁺) kümesidir.

*Üstel fonksiyonların grafikleri daima ox ekseninin üst tarafında yer alır.

Fonksiyonun Değişim Hızı

Bir fonksiyonda [x1, x2] aralığındaki değişim hızı aşağıdaki eşitlikle bulunur.

Örnek:

f(x) = 4^x fonksiyonu veriliyor.

Bu fonksiyonun [1,5] aralığındaki değişim hızını (oranını) bulunuz.

Çözüm:

Yukarıdaki oran formülünde değerleri yerine koymamız yeterlidir.

= 255

Örnek:

fonksiyonunun [2, 5] aralığındaki değişim oranını hesaplayınız.

Çözüm:

Fonksiyon verilen aralıkta azalmaktadır. Azalma hızındaki değişim,

76/729 dur.

Örnek:

f(x) = 4^5x

g(x) = x^(1/5)

gof(x) fonksiyonunu bulunuz. Bileşke fonksiyonun x = 3 için değeri nedir?

Çözüm:

gof(x) fonksiyonunu bulmak için g(x) fonksiyonunda x yazan her yere 4^5x yazmalıyız.

gof(x) = 4^(5x.1/5)

gof(x) = 4^x olarak bulunur.

x = 3 için

gof(3) = 4³ = 64 olur.

Logaritma Kavramı

SANATSAL BİLGİ

06/04/2019