ÜSTEL FONKSİYONLARIN TÜREVİ

Matematik dersi, üstel fonksiyonların türevleri konusu. Üstel fonksiyonların türevlerinin alınması ile ilgili kurallar ve çözümlü sorular.


1- 

f: R+ → R ve a ϵ R+ -{1}

f(x) = ax şeklindeki bir fonksiyonun türevi,

f’(x) = ax . ln a dır.

a = e olması durumunda,

f’(x) = ex dir.


2- 

u(x), x’e göre türevlenebilen bir fonksiyon olmak üzere,

f(x) = au(x)  şeklinde ise,

f’(x) = u’(x) . au(x). ln a 

Eşitliğiyle bulunur.


3- 

u(x), x’e göre türevlenebilen bir fonksiyon olmak üzere,

f(x) = eu(x)  şeklindeki bir fonksiyonun türevi,

f’(x) = u’(x) . eu(x)

Şeklindedir.


Örnek:

f(x) = 5x fonksiyonunun türevini bulunuz.


Çözüm:

f(x) = ax şeklindeki bir fonksiyonun türevi,

f’(x) = ax. ln a dır.

Buna göre,

f(x) = 5x

f’(x) = 5x . ln5


Örnek:

f(x) = 2(x^2 + 1)   

Olduğuna göre, f(x) fonksiyonunun türevini hesaplayınız.


Çözüm:

f(x) fonksiyonu;

2u(x) şeklinde bir fonksiyondur. u(x) ise,

u(x) = x2+ 1 dir.

f(x) = au(x) 

f’(x) = u’(x) . au(x) . ln a 

Buna göre,

u’(x) = 2x

f’(x) = 2x . 2(x^2 + 1). ln2


Örnek:

y = e(4x^3 – 6x + 2) 

Olduğuna göre y’nin türevini bulunuz.


Çözüm:

Fonksiyon;

f(x) = eu(x)  şeklinde bir fonksiyondur.

u(x) = 4x3 – 6x + 2

u’(x) = 12x2 – 6


f(x) = eu(x) şeklindeki bir fonksiyonun türevi, aşağıdaki eşitlikle bulunuyordu.

f’(x) = u’(x) . eu(x)

u(x) ve u’(x) ifadelerini yerine koyarsak,


y’ = (12x2 – 6) . [e(4x^3 – 6x + 2)]


Örnek:

f(x) = 3(cosx) fonksiyonunun türevini bulunuz.


Çözüm:

f(x) fonksiyonu 3u(x) şeklinde bir fonksiyondur. Bu fonksiyonun türevi,

f’(x) = u’(x) . au(x) . lna şeklindedir. Bu fonksiyonda,


u(x) = cosx

a = 3’tür.

u’(x) = - sinx

f’(x) = (-sinx) . 3(cosx) . ln 3


Örnek:

f(x) = e(3x - 3) . 2(4x – 1)

Olduğuna göre,

f’(1) değerini bulunuz.


Çözüm:

f(x) fonksiyonunu 

f(x) = g(x) . h(x) şeklinde iki fonksiyonun çarpımı olarak ifade edebiliriz.

İki fonksiyonun çarpımının türevi,

f’(x) = g’(x) . h(x) + h’(x) . g(x) şeklindedir.

g(x) = e(3x - 3) 

h(x) = 2(4x – 1) olsun. Bunların çarpımının türevi,

f’(x) = [e(3x - 3)]’ . [2(4x – 1)] + [2(4x – 1)]’ . e(3x - 3)

f’(x) = 3. e(3x - 3) . [2(4x – 1)] + 4. 2(4x – 1)] . ln 2 . e(3x - 3)

f’(1) = 3. e0 . 23 + 4.23 . ln2 . e0

f’(1) = 24 + 32ln2

= 8(3 + 4ln 2)


Örnek:

y = cos(5sinx) olduğuna göre, y’ ni bulunuz.


Çözüm:

Fonksiyon aşağıdaki gibi bir fonksiyondur.

y = cosu(x)

Burada u(x) = 5(sinx) olduğu açıktır.

y = cosu(x) şeklindeki bir fonksiyonun türevi,

y’ = - u’(x) . sinu(x) şeklinde idi. Öte yandan,

 u(x) = 5(sinx) fonksiyonunun türevi,

u’(x) = [sinx]’ . 5(sinx) . ln5 şeklindedir. Yukarıdaki eşitlikleri birleştirirsek;


y’ = - sin(5sinx) . [5sinx]’ 

y’ = - sin(5sinx) . [sinx]’ . 5sinx . ln5

y’ = - sin(5sinx) . cosx . 5sinx . ln5


Fonksiyonların Bölümünün Türevi

Bileşke Fonksiyonların Türevi


SANATSAL BİLGİ

12/05/2018

  • YORUM YAZ
  • ADI SOYADI(veya nick)
  • YORUM
COPYRIGHT© HER HAKKI SAKLIDIR
Sitede Yer Alan Bilgi Belge Ve Materyallerin İzinsiz olarak Kopyalanması ve Alıntılanması Yasaktır

SANATSAL BILGI