ÜSTEL FONKSİYONLARIN TÜREVİ

Matematik dersi, üstel fonksiyonların türevleri konusu. Üstel fonksiyonların türevlerinin alınması ile ilgili kurallar ve çözümlü sorular.

1- 

f: R⁺ → R ve a ϵ R⁺ -{1}

f(x) = a^x şeklindeki bir fonksiyonun türevi,

f’(x) = a^x . ln a dır.

a = e olması durumunda,

f’(x) = e^x dir.

2- 

u(x), x’e göre türevlenebilen bir fonksiyon olmak üzere,

f(x) = a^u(x)  şeklinde ise,

f’(x) = u’(x) . a^u(x). ln a 

Eşitliğiyle bulunur.

3- 

u(x), x’e göre türevlenebilen bir fonksiyon olmak üzere,

f(x) = e^u(x)  şeklindeki bir fonksiyonun türevi,

f’(x) = u’(x) . e^u(x)

Şeklindedir.

Örnek:

f(x) = 5^x fonksiyonunun türevini bulunuz.

Çözüm:

f(x) = a^x şeklindeki bir fonksiyonun türevi,

f’(x) = a^x. ln a dır.

Buna göre,

f(x) = 5^x

f’(x) = 5^x . ln5

Örnek:

f(x) = 2^{(x^2 + 1)}   

Olduğuna göre, f(x) fonksiyonunun türevini hesaplayınız.

Çözüm:

f(x) fonksiyonu;

2^u(x) şeklinde bir fonksiyondur. u(x) ise,

u(x) = x²+ 1 dir.

f(x) = a^u(x) 

f’(x) = u’(x) . a^u(x) . ln a 

Buna göre,

u’(x) = 2x

f’(x) = 2x . 2^{(x^2 + 1)}. ln2

Örnek:

y = e^{(4x^3 – 6x + 2)} 

Olduğuna göre y’nin türevini bulunuz.

Çözüm:

Fonksiyon;

f(x) = e^u(x)  şeklinde bir fonksiyondur.

u(x) = 4x³ – 6x + 2

u’(x) = 12x² – 6

f(x) = e^u(x) şeklindeki bir fonksiyonun türevi, aşağıdaki eşitlikle bulunuyordu.

f’(x) = u’(x) . e^u(x)

u(x) ve u’(x) ifadelerini yerine koyarsak,

y’ = (12x² – 6) . [e^{(4x^3 – 6x + 2)}]

Örnek:

f(x) = 3^(cosx) fonksiyonunun türevini bulunuz.

Çözüm:

f(x) fonksiyonu 3^u(x) şeklinde bir fonksiyondur. Bu fonksiyonun türevi,

f’(x) = u’(x) . a^u(x) . lna şeklindedir. Bu fonksiyonda,

u(x) = cosx

a = 3’tür.

u’(x) = - sinx

f’(x) = (-sinx) . 3^(cosx) . ln 3

Örnek:

f(x) = e^{(3x - 3)} . 2^{(4x – 1)}

Olduğuna göre,

f’(1) değerini bulunuz.

Çözüm:

f(x) fonksiyonunu 

f(x) = g(x) . h(x) şeklinde iki fonksiyonun çarpımı olarak ifade edebiliriz.

İki fonksiyonun çarpımının türevi,

f’(x) = g’(x) . h(x) + h’(x) . g(x) şeklindedir.

g(x) = e^{(3x - 3)} 

h(x) = 2^{(4x – 1)} olsun. Bunların çarpımının türevi,

f’(x) = [e^{(3x - 3)}]’ . [2^{(4x – 1)}] + [2^{(4x – 1)}]’ . e^{(3x - 3)}

f’(x) = 3. e^{(3x - 3)} . [2^{(4x – 1)}] + 4. 2^{(4x – 1)}] . ln 2 . e^{(3x - 3)}

f’(1) = 3. e⁰ . 2³ + 4.2³ . ln2 . e⁰

f’(1) = 24 + 32ln2

= 8(3 + 4ln 2)

Örnek:

y = cos(5^sinx) olduğuna göre, y’ ni bulunuz.

Çözüm:

Fonksiyon aşağıdaki gibi bir fonksiyondur.

y = cosu(x)

Burada u(x) = 5^(sinx) olduğu açıktır.

y = cosu(x) şeklindeki bir fonksiyonun türevi,

y’ = - u’(x) . sinu(x) şeklinde idi. Öte yandan,

 u(x) = 5^(sinx) fonksiyonunun türevi,

u’(x) = [sinx]’ . 5^(sinx) . ln5 şeklindedir. Yukarıdaki eşitlikleri birleştirirsek;

y’ = - sin(5^sinx) . [5^sinx]’ 

y’ = - sin(5^sinx) . [sinx]’ . 5^sinx . ln5

y’ = - sin(5^sinx) . cosx . 5^sinx . ln5

Fonksiyonların Bölümünün Türevi

Bileşke Fonksiyonların Türevi

SANATSAL BİLGİ

12/05/2018