ÜSTEL FONKSİYONLARIN TÜREVİ
Matematik dersi, üstel fonksiyonların türevleri konusu. Üstel fonksiyonların türevlerinin alınması ile ilgili kurallar ve çözümlü sorular.
1-
f: R+ → R ve a ϵ R+ -{1}
f(x) = ax şeklindeki bir fonksiyonun türevi,
f’(x) = ax . ln a dır.
a = e olması durumunda,
f’(x) = ex dir.
2-
u(x), x’e göre türevlenebilen bir fonksiyon olmak üzere,
f(x) = au(x) şeklinde ise,
f’(x) = u’(x) . au(x). ln a
Eşitliğiyle bulunur.
3-
u(x), x’e göre türevlenebilen bir fonksiyon olmak üzere,
f(x) = eu(x) şeklindeki bir fonksiyonun türevi,
f’(x) = u’(x) . eu(x)
Şeklindedir.
Örnek:
f(x) = 5x fonksiyonunun türevini bulunuz.
Çözüm:
f(x) = ax şeklindeki bir fonksiyonun türevi,
f’(x) = ax. ln a dır.
Buna göre,
f(x) = 5x
f’(x) = 5x . ln5
Örnek:
f(x) = 2(x^2 + 1)
Olduğuna göre, f(x) fonksiyonunun türevini hesaplayınız.
Çözüm:
f(x) fonksiyonu;
2u(x) şeklinde bir fonksiyondur. u(x) ise,
u(x) = x2+ 1 dir.
f(x) = au(x)
f’(x) = u’(x) . au(x) . ln a
Buna göre,
u’(x) = 2x
f’(x) = 2x . 2(x^2 + 1). ln2
Örnek:
y = e(4x^3 – 6x + 2)
Olduğuna göre y’nin türevini bulunuz.
Çözüm:
Fonksiyon;
f(x) = eu(x) şeklinde bir fonksiyondur.
u(x) = 4x3 – 6x + 2
u’(x) = 12x2 – 6
f(x) = eu(x) şeklindeki bir fonksiyonun türevi, aşağıdaki eşitlikle bulunuyordu.
f’(x) = u’(x) . eu(x)
u(x) ve u’(x) ifadelerini yerine koyarsak,
y’ = (12x2 – 6) . [e(4x^3 – 6x + 2)]
Örnek:
f(x) = 3(cosx) fonksiyonunun türevini bulunuz.
Çözüm:
f(x) fonksiyonu 3u(x) şeklinde bir fonksiyondur. Bu fonksiyonun türevi,
f’(x) = u’(x) . au(x) . lna şeklindedir. Bu fonksiyonda,
u(x) = cosx
a = 3’tür.
u’(x) = - sinx
f’(x) = (-sinx) . 3(cosx) . ln 3
Örnek:
f(x) = e(3x - 3) . 2(4x – 1)
Olduğuna göre,
f’(1) değerini bulunuz.
Çözüm:
f(x) fonksiyonunu
f(x) = g(x) . h(x) şeklinde iki fonksiyonun çarpımı olarak ifade edebiliriz.
İki fonksiyonun çarpımının türevi,
f’(x) = g’(x) . h(x) + h’(x) . g(x) şeklindedir.
g(x) = e(3x - 3)
h(x) = 2(4x – 1) olsun. Bunların çarpımının türevi,
f’(x) = [e(3x - 3)]’ . [2(4x – 1)] + [2(4x – 1)]’ . e(3x - 3)
f’(x) = 3. e(3x - 3) . [2(4x – 1)] + 4. 2(4x – 1)] . ln 2 . e(3x - 3)
f’(1) = 3. e0 . 23 + 4.23 . ln2 . e0
f’(1) = 24 + 32ln2
= 8(3 + 4ln 2)
Örnek:
y = cos(5sinx) olduğuna göre, y’ ni bulunuz.
Çözüm:
Fonksiyon aşağıdaki gibi bir fonksiyondur.
y = cosu(x)
Burada u(x) = 5(sinx) olduğu açıktır.
y = cosu(x) şeklindeki bir fonksiyonun türevi,
y’ = - u’(x) . sinu(x) şeklinde idi. Öte yandan,
u(x) = 5(sinx) fonksiyonunun türevi,
u’(x) = [sinx]’ . 5(sinx) . ln5 şeklindedir. Yukarıdaki eşitlikleri birleştirirsek;
y’ = - sin(5sinx) . [5sinx]’
y’ = - sin(5sinx) . [sinx]’ . 5sinx . ln5
y’ = - sin(5sinx) . cosx . 5sinx . ln5
Fonksiyonların Bölümünün Türevi
Bileşke Fonksiyonların Türevi
SANATSAL BİLGİ
12/05/2018