YARIM AÇI FORMÜLLERİ

Matematik dersi, trigonometri konusu. Yarım açı formülleri. Cos2x, sin2x, tan2x ve cot2x değerleri ve bu değerlerin çıkarılması. Konu anlatımı ve açıklamalı çözümlü örnekler.



Yarım açı formülleri toplam – fark formüllerinden türetilir.

1. cos2x = cos2x – sin2x


Cos(x + y) = cosx.cosy – sinx.siny

şeklinde idi. y yerine x yazarsak,


cos(x + x) = cosx.cosx – sinx.sinx

cos2x = cos2x – sin2x (1)

Yeni eşitlikler bulalım.

sin2x = 1 – cos2x olduğundan,

cos2x = cos2x – (1 – cos2x)

cos2x = cos2x – 1 + cos2x

= 2cos2x – 1 (2)

Cos2x = 1 – sin2x olduğundan,

cos2x = cos2x – sin2x

= (1 – sin2x) – sin2x

Cos2x = 1 – 2sin2x (3)


2. Sin2x = 2sinx.cosx

Sin(x + y) = sinx.cosy + cosx.siny

Eşitliğinde y yerine x yazarsak,

Sin(x + x) = sinx.cosx + cosx.sinx

Sin2x = 2sinx.cosx


Örnek:

cos2x 
– sin2x
2cosx
cosx – sinx




İşleminin sonucu nedir?


Çözüm:

Cos2x – sin2x 
–2sinx . cosx
2cosx
cosx – sinx




(cosx + sinx)(cosx – sinx) – sinx
cosx – sinx




= cosx + sinx – sinx

= cosx



Örnek:

1 – sin2x 
sin2x – cos2x
2
2




İşleminin sonucu nedir?


Çözüm:

1 – sin2x = cos2x tir.

Cos2x 
+ sin2x – cos2x
2
2




cos2x + sin2x – cos2x
2




= sin2x
2




= 2sinx.cosx
2




= sinx.cosx


3.

yarim_aci1


4. 

yarim_aci2


Örnek:

Cos65 = x + 1 olduğuna göre,
2




Sin40 eşiti nedir?


Çözüm:

Birbirini 90 dereceye tamamlayan açılardan birinin kosinüsü diğerinin sinüsüne eşittir.

Cos65 = sin25

Sin40 = cos50

Cos50 = cos(2.25)

Yarım açı formülünden,

Cos(2.25) = 1 – 2sin225


yarim_aci3



Örnek:

1 
+1
sin15°
cos15°




işleminin sonucu nedir?


Çözüm:


1 
+1 = x olsun.
sin15°
cos15°




x = cos15° + sin15
cos15° . sin15°




= Kesrin paydasındaki sin15 . cos15 değeri,

1 .sin(30°) değerine eşittir.
2




Sin30 = 1/2 olduğundan,

Kesrin paydası 1/4 olur.

x = cos(15°) + sin(15°)
(1/4)




x = cos(15°) + sin(15°)
4




Her iki tarafın karesini alırsak,

x2 = cos2(15°) + 2sin(15°).cos(15°) + sin2(15°)
16




Bu eşitlikte. cos2(15°) + sin2(15°) = 1 dir.

x2 = 1 + 2sin15.cos15 olur.
16




2sin(15) . cos(15) = sin30 dur.

Sin30 = 1/2 dir.

x2 
= 1 – 1 olur.
2
16




x2 
= 1
2
16




x2 = 8

x= ± 2√2 olur.


Açılar 1. Bölgede olduğundan,

x = 2√2 dir.


Örnek:

yarim_aci4


işleminin sonucu nedir?


Çözüm:

yarim_aci5


eşitliği vardır.

yarim_aci6



Bu eşitliğin iki tarafı birbiri ile uyum içindedir.

Öyleyse,

yarim_aci4x


= tan⁡(π/6) olur.


π/6 = 30°

tan30 = sin30
cos30




yarim_aci7


= 1
3 




= 3 
3







SANATSAL BİLGİ

19/05/2019

  • YORUM YAZ
  • ADI SOYADI(veya nick)
  • YORUM
COPYRIGHT© HER HAKKI SAKLIDIR
Sitede Yer Alan Bilgi Belge Ve Materyallerin İzinsiz olarak Kopyalanması ve Alıntılanması Yasaktır

SANATSAL BILGI