YARIM AÇI FORMÜLLERİ
Matematik dersi, trigonometri konusu. Yarım açı formülleri. Cos2x, sin2x, tan2x ve cot2x değerleri ve bu değerlerin çıkarılması. Konu anlatımı ve açıklamalı çözümlü örnekler.
Yarım açı formülleri toplam – fark formüllerinden türetilir.
1. cos2x = cos2x – sin2x
Cos(x + y) = cosx.cosy – sinx.siny
şeklinde idi. y yerine x yazarsak,
cos(x + x) = cosx.cosx – sinx.sinx
cos2x = cos2x – sin2x (1)
Yeni eşitlikler bulalım.
sin2x = 1 – cos2x olduğundan,
cos2x = cos2x – (1 – cos2x)
cos2x = cos2x – 1 + cos2x
= 2cos2x – 1 (2)
Cos2x = 1 – sin2x olduğundan,
cos2x = cos2x – sin2x
= (1 – sin2x) – sin2x
Cos2x = 1 – 2sin2x (3)
2. Sin2x = 2sinx.cosx
Sin(x + y) = sinx.cosy + cosx.siny
Eşitliğinde y yerine x yazarsak,
Sin(x + x) = sinx.cosx + cosx.sinx
Sin2x = 2sinx.cosx
Örnek:
İşleminin sonucu nedir?
Çözüm:
| Cos2x – sin2x | |
| cosx – sinx |
| = | (cosx + sinx)(cosx – sinx) | – sinx |
| cosx – sinx |
= cosx + sinx – sinx
= cosx
Örnek:
İşleminin sonucu nedir?
Çözüm:
1 – sin2x = cos2x tir.
= sinx.cosx
3.
4.
Örnek:
| Cos65 = | x + 1 | olduğuna göre, |
| 2 |
Sin40 eşiti nedir?
Çözüm:
Birbirini 90 dereceye tamamlayan açılardan birinin kosinüsü diğerinin sinüsüne eşittir.
Cos65 = sin25
Sin40 = cos50
Cos50 = cos(2.25)
Yarım açı formülünden,
Cos(2.25) = 1 – 2sin225
Örnek:
işleminin sonucu nedir?
Çözüm:
| x = | cos15° + sin15 |
|
| cos15° . sin15° |
= Kesrin paydasındaki sin15 . cos15 değeri,
| 1 | .sin(30°) değerine eşittir. |
| 2 |
Sin30 = 1/2 olduğundan,
Kesrin paydası 1/4 olur.
| x = | cos(15°) + sin(15°) |
|
| (1/4) |
Her iki tarafın karesini alırsak,
| x2 | = cos2(15°) + 2sin(15°).cos(15°) + sin2(15°) |
| 16 |
Bu eşitlikte. cos2(15°) + sin2(15°) = 1 dir.
| x2 | = 1 + 2sin15.cos15 olur. |
| 16 |
2sin(15) . cos(15) = sin30 dur.
Sin30 = 1/2 dir.
x2 = 8
x= ± 2√2 olur.
Açılar 1. Bölgede olduğundan,
x = 2√2 dir.
Örnek:
işleminin sonucu nedir?
Çözüm:
eşitliği vardır.
Bu eşitliğin iki tarafı birbiri ile uyum içindedir.
Öyleyse,
= tan(π/6) olur.
π/6 = 30°
SANATSAL BİLGİ
19/05/2019