YATAY VE DÜŞEY ASİMPTOTLAR
Bir fonksiyonun yatay asimptotlarının bulunması. Bir fonksiyonun düşey asimptotlarının bulunması. Limit ve asimptotlar arasındaki ilişki. Limitten yararlanarak asimptotları bulma.
Asimptot:
Bir fonksiyonun grafiği x = a noktasında sonsuza uzanıyorsa, bu a noktasına fonksiyonun asimptotu denir. Bu tip fonksiyonların x = a noktasında çizilen doğruya sonsuzda teğet oldukları varsayılır. Yani grafik asla x = a noktasını kesmez, bu noktaya yaklaştıkça sonsuza uzanır.
Bir fonksiyonun asimptotu x veya y eksenine paralel olabilir. y eksenine paralel olan asimptota düşey asimptot, x eksenine paralel olan asimptota yatay asimptot denir.
Örnek:
| y = | 1 | fonksiyonunun grafiğini çiziniz. |
| x – 6 |
Çözüm:
x = 0 için y = -1/6 olur.
x = 6 için fonksiyon tanımsız olur.
x = 5,9999 için y = - 10000 olur.
x = 6,000001 için y = 1000000 olur
Virgülden sonraki 9 sayısını artırdıkça y değeri sonsuza gider. Dolayısıyla fonksiyon x = 6 noktasında sonsuza uzanır.
x’in 6’dan büyük değerlerinde fonksiyon x = 6 değerine yaklaştıkça fonksiyon yine sonsuza uzanır, x 6 dan büyük değerler aldıkça y değeri küçülür.
x = 5 için y = -1 olur.
x = 7 için y = 1 olur.
x = 12 için y = 1/6 olur.
Fonksiyon x = 6 doğrusunun her iki tarafında kendisini ters olarak tekrar eden iki parçadan meydana gelmiştir.
Burada d1 doğrusuna y = 1/(x – 6) fonksiyonunun asimptotu denir. x, tek katlı bir kök olduğundan grafik kelebek şeklindedir. x çift katlı kök olsaydı grafik baca şeklini alacaktı.
Düşey Asimptot
Tanım:
a ∈ R olmak üzere limx→a+ f(x) = ±∞ veya limx→a- f(x) = ±∞ ise x = a doğrusu y = f(x) fonksiyonunun bir düşey asimptotudur.
Düşey asimptotda aşağıdaki 2 şartdan en az biri sağlanır.
1.
lim(x→a+) f(x) = +∞
lim(x→a-) f(x) = -∞
2.
lim(x→a-) f(x) = +∞
lim(x→a+) f(x) = -∞
Yatay Asimptot
Tanım:
y = f(x) fonksiyonu,
lim(x→∞+) f(x) = b ∈ R veya
lim(x→∞-) f(x) = b ∈ R
şartlarından en az birini sağlıyorsa y = b doğrusu f(x) fonksiyonunun yatay bir asimptotudur.
Örnek:
fonksiyonunun varsa düşey asimptodunu bulunuz.
Çözüm:
Fonksiyonun kritik noktası 5’tir. Bu noktayı inceleyelim,
= +∞
f(x) fonksiyonu x = 5 noktasına sağdan ve soldan yaklaşırken fonksiyon değeri sonsuza gitmektedir. O halde f(x) fonksiyonunun x = 5 noktasında düşey asimptodu vardır.
Örnek:
Fonksiyonunun yatay asimptodunu bulunuz.
Çözüm:
Bir b noktasında yatay asimptodun olması için aşağıdaki 2 koşuldan en az birisinin sağlanması gerekir.
1. lim(x→∞+) f(x) = b olmalıdır.
2. lim(x→∞-) f(x) = b olmalıdır.
Aynı şekilde,
| lim(x→∞-) | 3x2 + 2x | = 3 |
| x2 - 1 |
Olduğundan y = 3 noktasında yatay asimptot vardır.
Örnek:
fonksiyonunun yatay asimptodunu bulunuz.
Çözüm:
1. lim(x→∞+) f(x) = b olmalıdır.
2. lim(x→∞-) f(x) = b olmalıdır.
= 1
Aynı şekilde,
| lim(x→∞-) | x2+2x-48 | = 1 |
| x2-36 |
= 1 olduğundan fonksiyonun asimptodu y = 1 doğrusudur.
Örnek:
| f(x) = | x3 -3x2 + x-3 |
|
| x2 -16 |
Fonksiyonunun düşey asimptotlarını bulunuz.
Çözüm:
| f(x) = | x3 -3x2 +x-3 |
|
| (x+4)(x-4) |
x = +4 ve x = - 4 noktalarında kontrol yapacağız.
x = +4 için,
| lim(x→4-) | x3 -3x2 +x-3 |
|
| (x+4)(x-4) |
= - ∞
| lim(x→4+) | x3 -3x2 +x-3 |
|
| (x+4)(x-4) |
= + ∞
x = - 4 için,
| lim (x→-4-) | x3-3x2+x-3 |
|
| (x+4)(x-4) |
= +∞
| lim(x→-4+) | x3 -3x2+x-3 |
|
| (x+4)(x-4) |
- ∞
Bu fonksiyonda x = +4 ve x = -4 noktalarında düşey asimptotlar vardır.
Türev ile Fonksiyon Grafiği
İçbükey ve Dışbükey Fonksiyonlar
SANATSAL BİLGİ
03/08/2019