YATAY VE DÜŞEY ASİMPTOTLAR

Bir fonksiyonun yatay asimptotlarının bulunması. Bir fonksiyonun düşey asimptotlarının bulunması. Limit ve asimptotlar arasındaki ilişki. Limitten yararlanarak asimptotları bulma.


Asimptot:

Bir fonksiyonun grafiği x = a noktasında sonsuza uzanıyorsa, bu a noktasına fonksiyonun asimptotu denir. Bu tip fonksiyonların x = a noktasında çizilen doğruya sonsuzda teğet oldukları varsayılır. Yani grafik asla x = a noktasını kesmez, bu noktaya yaklaştıkça sonsuza uzanır.

Bir fonksiyonun asimptotu x veya y eksenine paralel olabilir. y eksenine paralel olan asimptota düşey asimptot, x eksenine paralel olan asimptota yatay asimptot denir.

Örnek:

y = 1 fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
x – 6




Çözüm:

x = 0 için y = -1/6 olur.

x = 6 için fonksiyon tanımsız olur.

x = 5,9999 için y = - 10000 olur.

x = 6,000001 için y = 1000000 olur

Virgülden sonraki 9 sayısını artırdıkça y değeri sonsuza gider. Dolayısıyla fonksiyon x = 6 noktasında sonsuza uzanır.

x’in 6’dan büyük değerlerinde fonksiyon x = 6 değerine yaklaştıkça fonksiyon yine sonsuza uzanır, x 6 dan büyük değerler aldıkça y değeri küçülür.

x = 5 için y = -1 olur.

x = 7 için y = 1 olur.

x = 12 için y = 1/6 olur. 


Fonksiyon x = 6 doğrusunun her iki tarafında kendisini ters olarak tekrar eden iki parçadan meydana gelmiştir. 

Turev_asimptot1



Burada d1 doğrusuna y = 1/(x – 6) fonksiyonunun asimptotu denir. x, tek katlı bir kök olduğundan grafik kelebek şeklindedir. x çift katlı kök olsaydı grafik baca şeklini alacaktı.


Düşey Asimptot

Tanım:

a ∈ R olmak üzere limx→a+   f(x) = ±∞ veya limx→a-  f(x) = ±∞ ise x = a doğrusu y = f(x) fonksiyonunun bir düşey asimptotudur.

Düşey asimptotda aşağıdaki 2 şartdan en az biri sağlanır.

1.

lim(x→a+)  f(x) = +∞

lim(x→a-)  f(x) = -∞


2.

lim(x→a-) f(x) = +∞

lim(x→a+) f(x) = -∞



Yatay Asimptot

Tanım:

y = f(x) fonksiyonu,

lim(x→∞+) f(x) = b ∈ R veya

lim(x→∞-) f(x) = b ∈ R


şartlarından en az birini sağlıyorsa y = b doğrusu f(x) fonksiyonunun yatay bir asimptotudur.


Örnek:

f(x) = 4x3 + 2
x - 5





fonksiyonunun varsa düşey asimptodunu bulunuz.


Çözüm:

Fonksiyonun kritik noktası 5’tir. Bu noktayı inceleyelim,

Turev_asimptot3


= +∞


f(x) fonksiyonu x = 5 noktasına sağdan ve soldan yaklaşırken fonksiyon değeri sonsuza gitmektedir. O halde f(x) fonksiyonunun x = 5 noktasında düşey asimptodu vardır.


Örnek:

f(x) = 3x2 + 2x
x2 - 1




Fonksiyonunun yatay asimptodunu bulunuz.


Çözüm:

Bir b noktasında yatay asimptodun olması için aşağıdaki 2 koşuldan en az birisinin sağlanması gerekir.

1. lim(x→∞+) f(x) = b olmalıdır.

2. lim(x→∞-) f(x) = b olmalıdır.


Turev_asimptot5



Aynı şekilde,


lim(x→∞-)3x2 + 2x = 3
x2 - 1





Olduğundan y = 3 noktasında yatay asimptot vardır.


Örnek:

f(x) =x2+2x-48
x2-36 




fonksiyonunun yatay asimptodunu bulunuz.


Çözüm:

1. lim(x→∞+)  f(x) = b olmalıdır. 

 2. lim(x→∞-) f(x) = b olmalıdır.

Turev_asimptot7


= 1

Aynı şekilde, 

lim(x→∞-) x2+2x-48 = 1
x2-36




= 1 olduğundan fonksiyonun asimptodu y = 1 doğrusudur.

Örnek:

f(x) =x3 -3x+ x-3
x2 -16




Fonksiyonunun düşey asimptotlarını bulunuz.


Çözüm:

f(x) =x3 -3x2 +x-3
(x+4)(x-4)




x = +4 ve x = - 4 noktalarında kontrol yapacağız.

x = +4 için,

 

lim(x→4-) x3 -3x2 +x-3
(x+4)(x-4)




= 17
0-




= - ∞


lim(x→4+)  x3 -3x2 +x-3
(x+4)(x-4)



 

=17
0+




= + ∞


x = - 4 için,  

lim (x→-4-)⁡x3-3x2+x-3
(x+4)(x-4)




= -119
0-




= +∞


lim(x→-4+) ⁡x3 -3x2+x-3
(x+4)(x-4)



= -119
0+



- ∞


Bu fonksiyonda x = +4 ve x = -4 noktalarında düşey asimptotlar vardır.


Türev ile Fonksiyon Grafiği

İçbükey ve Dışbükey Fonksiyonlar



SANATSAL BİLGİ

03/08/2019

  • YORUM YAZ
  • ADI SOYADI(veya nick)
  • YORUM
COPYRIGHT© HER HAKKI SAKLIDIR
Sitede Yer Alan Bilgi Belge Ve Materyallerin İzinsiz olarak Kopyalanması ve Alıntılanması Yasaktır

SANATSAL BILGI