BASİT HARMONİK HAREKETTE HIZ

12. sınıflar ve lys fizik dersi. Basit harmonik harekette hızın konuma göre değişimi konusu. Hızın maksimum ve minimum değerleri. Herhangi bir andaki hız ve konum.



Harmonik Harekette Hızın Çıkarılması

Bhh_HizS12R1



Yukarıdaki şekilde düzgün çembersel hareket yapan bir cismin çizgisel hızı ile çizgisel hızının yatay ve düşey bileşenleri gösterilmiştir.

Herhangi bir andaki hızı V olan bir cismin o andaki hızının y eksenindeki bileşeni Vy, x eksenindeki bileşeni Vx dir.

V hızının yatay eksendeki bileşeni,

Vx = V. Sinϑ olur.


V hızının düşey eksendeki bileşeni ise,

Vy = V.cosϑ olur.

Açısal hız ω ile gösterilir.

ω =  dir.
T




Çizgisel hız ise;

V = 2.π.r dir.
T




Açısal hız ile çizgisel hız arasında;

V = ω.r

ω =V ilişkisi vardır.
r



Vx = V.sinϑ ifadesinde V yerine ω.r koyarsak;

Vx = ω.rsinϑ ifadesini elde ederiz.

ϑ = ω.t dir.

Vx = ω.rsin(ω.t) olur.

Yukarıdaki şekilde görüldüğü gibi Vx vektörünün yönü – x yönündedir. Bu nedenle Vx hızı vektörel olarak ifade edilirken önüne ( –) işareti konulur.

Vx = - ω.rsin(ω.t)


Basit harmonik harekette hızın zamandan bağımsız denklemi;


V2 = ω2(r2 – x2)2

V = ω.√r2 – x2   

 V = ω.rsin(ω.t) ifadesinde, sin(ω.t) = 1 olduğunda Vx değeri maksimum olur.

Örneğin ω.t = π/2 ise;

V = ω.rsin(π/2) = ω.r.1 = ω.r

Hızın maksimum değeri;

Vmax = ω.r dir.

Yukarıdaki ifadelerde r’nin genlik olduğunu unutmayın.

Ayrıca konum denklemi sinüs fonksiyonu biçiminden verilmişse hız denklemi kosinüs biçiminde, konum denklemi cosinüs biçiminde ise hız denklemi sinüs biçiminde olur.

Örneğin bir cismin konum denklemi;

x = r.sin(ω.t) ise hız denklemi;

V = ω.r.cos(ω.t) şeklinde ifade edilir ve hesaplamalar buna göre yapılır.

x = r.cos(ω.t) şeklinde ise hız,

V = ω.r.sin(ω.t) şeklinde ifade edilir ve hesaplamalar buna göre yapılır.

Örnek:

Basit harmonik hareket yapan bir cismin maksimum uzanımı 30 cm, periyodu ise 24 s dir. Bu cismin hız denklemini yazınız.


Çözüm:

V = ω.r.sin(ω.t) şeklinde bir hız ifadesi yazmalıyız.

Bunun için bize ω, r ve T değerleri lazımdır.

T ve r değeri verilmiştir.

T = 24 s

r = 30 cm

Dıştaki ω değerini hesaplayalım.

ω=2.π
T



ω=2.(3,14)
24




ω= 0,26

Hız denklemi;

V = 0,26 . 30.sin(ω.t) 

V = 7,8 . sin(ω.t) şeklinde olur.

Açısal frekans değerini de yazalım.

ω=2.π 
=π dir.
12
24



Bu durumda hız denklemimiz;

V = 0,26 . 30 sin(π.t/12)

= 7,8.sin(π.t/12) şeklinde olur.


Örnek:

Bhh_HizS12R2


Şekilde K-T arasında basit harmonik hareket yapan X cismi görülmektedir. X cismi O noktasından P noktasına 2 saniyede gelmektedir. Buna göre;

A) Cismin periyodu kaç saniyedir?

B) Cismin maksimum hızı kaç m/s dir?

C) t = 16 s’de cisim nerede olur?

D) Cismin O noktasından 30 m ilerisindeki hızını hesaplayınız.

(Bölmeler eşit aralıklı ve her bölmenin uzunluğu 10 cm’dir)

Çözüm:

Bu soruda önce konum denklemini yazacağız. Konum denkleminden cismin periyodunu bulabiliriz. Cismin periyodunu bulduğumuzda diğer değerleri bulmak kolaydır.


A)

Cisim t = 0 anında O noktasındadır. Cismin maksimum uzanımı ise 4.10 = 40 cm’dir. O halde konum denklemi aşağıdaki gibidir.

x = 40sin(ω.t)

t = 2 s’de cismin konumu 10 cm’de olduğuna göre;

10 = 40sin(ω.t) olur.

sin(ω.t) ifadesinin kaç olduğunu bulalım.

sin(ω.t )= 10/40 = 0,25

ω.t ifadesini hesaplayalım.

ω.t =  .t
T



t = 2 s’de ,

ω.t =  olur.
T




Buna göre,

sin(4π/T) = 0,25 olur.

sin(4π/T )= 0,25 ifadesinde sinüsün tersini alırsak,

sin-1 (0,25) = olur.
T




14,478 = 4.180
T



T = 49,73 ≅ 50 s


B) Cismin maksimum hızı;


Maksimum hız ω.r ifadesiyle bulunur.

Vmax = ω.r

Vmax =  . 40
50




Vmax = 2.(3,14) . 40
50




Vmax = 5,024 ≅ 5 m/s

C) 

Cismin t = 16 s deki konumunu bulalım.

x = 40sin(ω.t)

x = 40sin(π.t/25)

t = 16 için,

x = 40sin(16.180/25)

= 40sin(115,2°)

= 40.0,9

= 36 m

t = 16 s’de cisim O noktasının 36 m ilerisindedir.


D) Cismin x = 30 m’deki hızı.

BHH de zamansız hız denklemi

V = ω.√ r2 – x2  şeklindedir.

V = 2.3,14/50 . √1600 – 900

V = 2.3,14 . √1600 – 900 
50




V = 0,126 . 26

V = 3,27 cm/s


Örnek:

Bhh_HizS12R3


Basit harmonik hareket yapan şekildeki cismin periyodu 24 s’dir. Bölmeler arası mesafe eşit ve her parça 12 cm’dir.

Bu cisim O noktasından geçtikten 4 s sonraki konumunu ve hızını yazınız.

(π değerini uzunluk hesabında kullanırken π = 3 değerini kullanın)


Çözüm:

A) 

Konum denklemi;

x = 24sin(2π.t/24)

x = 24sin(π.t/12)

t = 4 için;

x = 24sin(π.4/12)

= 24sin(π/3)

= 24sin(60°)

= 20,78 cm

Cisim t = 4 saniyede O noktasının 20, 78 cm ilerisindedir.


B)

Sinüsoidal bir konum denklemine sahip cismin hızı cosinüs fonksiyonu şeklindedir.

Dolayısıyla cismin herhangi bir andaki hızı,

V = ω.r.cos(ω.t) şeklindedir.

V = 2.π. 24 cos(2.π.t/24)
24




V = 6cos(π.t/12)

t = 4 s’de,

V = 6.cos(π.4/12)

V = 6.cos(π/3)

V = 6.cos(60°)

V = 6.0,5 = 3 cm/s

Olarak bulunur.



Harmonik harekette ivme, konum, kuvvet

Basit Harmonik Harekette İvme Hesaplamaları

Basit Harmonik Harekette Konum Hesaplamaları

Basit Harmonik Harekette Kuvvet 



SANATSAL BİLGİ

18/10/2017

  • YORUM YAZ
  • ADI SOYADI(veya nick)
  • YORUM
COPYRIGHT© HER HAKKI SAKLIDIR
Sitede Yer Alan Bilgi Belge Ve Materyallerin İzinsiz olarak Kopyalanması ve Alıntılanması Yasaktır

SANATSAL BILGI