BASİT HARMONİK HAREKETTE İVME

12. sınıflar ve lys fizik dersi. Basit harmonik harekette ivmenin konuma göre ifadesi. Hız ve ivme denklemi. İvmenin maksimum değeri. Herhangi bir andaki ivme.

Konum denklemi r.cos(ω.t) şeklinde verilen bir cismin hız denklemi;

V = ω.r.sin(ω.t) şeklindedir.

Bu durumda cismin ivmesi

a = ω².r.cos(ω.t)

Şeklinde olur.

İvmeyi zamandan bağımsız yazarsak;

a = ω².x şeklinde yazarız.

Cismin maksimum ivmesi;

a_max = ω².r

Burada dikkat edilmesi gereken şey eğer hız denklemi cosinüs fonksiyonu biçiminde ise ivme denklemi sinüs fonksiyonu biçiminde olur. Eğer hız denklemi sinüs fonksiyonu biçiminde ise ivme cosinüs fonksiyonu biçiminde olur. Örneğin;

V = A.sin(ω.t) ise

a = ω².r.cos(ω.t)

V = A.cos(ω.t) ise,

a = ω².r.sin(ω.t)

Örnek:

t = 0 anında O noktasında bulunan X cismi t = 2 s’de O noktasının 19,3 cm ilerisindedir. 

Bölmeler eşit aralıklı ve her bölmenin uzunluğu 15 cm olduğuna göre;

A) Hareketin periyodu kaç saniyedir.

B) Cismin t = 8 s’deki konumu nedir?

C) cismin maksimum hızı kaç cm/s dir? (π = 3 alınız)

D) t = 5 s de cismin hızı kaç m/s’dir? (π = 3 alınız)

E) t = 3 s’de cismin ivmesi nedir?

F) ivmenin maksimum değeri nedir?

Çözüm:

Bu soruda basit harmonik hareket denklemlerinin büyük bölümünü kullanacağız.

Öncelikle konum denklemi oluşturulmalı ve konum denklemi yardımıyla periyot bulunmalıdır. Cismin periyodu bilindikten sonra diğer büyüklüklerin bulunması kolaydır.

A) Hareketin Periyodu

Cisim başlangıçta O noktasındadır. Ayrıca her bölme aralığı 15 cm olduğuna göre hareketin genliği 30 cm’dir.

Bu verilere göre cismin konum denklemi,

x = 30.sin(ω.t) şeklinde olur.

x = 30.sin(2π.t/T) şeklinde olur.

t = 2 saniyede x = 19,3 ise,

19,3 = 30.sin(2π.2/T) dir.

Şimdi sin(4π/T) ifadesini eşitliğin bir tarafında bırakalım.

sin(4π/T) = 0,643 olur.

sin^-1(0,643) = 40°

T = 18 s

B) Cismin t = 8 s’deki konumu

Konum denklemini ve periyodu bildiğimizden kolayca hesaplayabiliriz.

x = 30.sin(2π.t/18)

t = 8 için,

x = 30sin.(16π/18)

sin(16π/18) = sin(16.180/18) = sin(160) = 0,34

x = 30.0,34

x = 10,2

cisim t = 8 saniyede O noktasının 10,2 cm ilerisindedir.

C) Cismin maksimum hızı

V_max = ω.r

V_max = 10 cm/s

D) Cismin t = 8 s’deki hızı

Cismin konum denklemi,

x = 30.sin(2π.t/18)

olduğundan hız denklemi,

V = ω.A.cos(2π.t/18) şeklindedir.

ω.A = 10

t = 8 s’deki hız,

V = 10.cos(2.π.8/18)

V = 10.cos(16π/18)

V = 10.cos(160°)

V = -9,4 m/s

t = 8. saniyede cisim M yönünde 9,4 m/s hızla hareket etmektedir.

E) t = 3 s’de cismin ivmesi

Cismin hız denklemi 

V = ω.A.cos(2π.t/18) şeklinde olduğundan, ivme denklemi;

a = ω².A.sin(2π.t/18) şeklindedir.

ω² = 0,1

A = 30

t = 3 için

a = 0,1 . 30.sin(60)

a = 2,61 cm/s²

F) İvmenin Maksimum Değeri

a_max = ω².r

a_max = 0,1 . 30 = 3 cm/s²

Örnek:

t = 0 anında R noktasında olan X cismi serbest bırakılınca basit harmonik harekete başlıyor. Hareketin periyodu 48 s olduğuna göre,

A) Konum denklemini yazınız

B) Maksimum hızını bulunuz (π = 3 alınız)

C) t = 15 s’deki hızını bulunuz. (π = 3 alınız)

D) t = 10 s’deki ivmesini bulunuz (π = 3 alınız)

E) Maksimum ivmesini bulunuz.

F) Cisim O noktasından 30 cm ileride iken hızını ve ivmesini hesaplayınız.

Bölmeler eşit ve her bölmenin uzunluğu 20 cm’dir.

Çözüm:

A) Konum denklemi

t = 0 anında genlik noktasında olan cismin konum denklemi,

x = A.cos(ω.t) şeklindedir.

A = 40 cm

Buna göre konum denklemi,

x = 40.cos(π.t/24) şeklindedir.

B) Cismin maksimum hızı,

V_max = ω.A dır.

A = 40

ω.A = 0,125.40 = 5

V_max = 5 cm/s

C) t = 15 s’deki hız

Konum denklemi 

x = 40.cos(π.t/24) şeklinde olan cismin hız denklemi,

V = ω.A.sin(π.t/24 şeklindedir.

ω.A = 5 (yukarıda hesaplanmıştı)

V = 5.sin(π.t/24)

t = 15 için,

V = 5.sin(15π/24)

V = 5.sin(112,5°)

V = 5.0,92 

= 4,6 cm/s

D) t = 10 s’deki ivmesi

Hız denklemi,

V = ω.A.sin(π.t/24)

Şeklinde olan cismin ivmesi,

a = ω².A.cos(π.t/24) şeklindedir.

ω² = 0,02

ω².A = 0,02.40 = 0,8

a = 0,8 cos(π.t/24)

t = 10 s için,

a = 0,8.cos(π.10/24)

a = 0,8.cos(75°)

a = 0,2 cm/s²

E) Maksimum İvme

Cismin maksimum ivmesi

a_max = ω².A

ω² = 0,02

ω².A = 0,02.40 = 0,8

Bu değerler yukarıda hesaplanmıştı. 

a_max = 0,8 cm/s²

F) Cisim O noktasından 30 cm ilerdeyken hız ve ivmesi

Bu soruda zamansız hız ve zamansız ivme denklemlerini kullanacağız.

V = ω.√r² – x²   

V = 0,125√1600 – 900  

V = 0,125 . 26,46

= 3,3 cm/s²

a = ω².x

a = 0,02.30

= 0,6 cm/s²

Harmonik Harekette Konum Hesaplamaları

Harmonik Harekette Hız Hesaplamaları

BHH Çözümlü Sorular

SANATSAL BİLGİ

19/10/2017