EYLEMSİZLİK MOMENTİ ve ENERJİ

12. sınıflar ve lys fizik konusu. Dönme hareketi yapan cisimlerin eylemsizlik momentleri. Dönme hareketi yapan cisimlerin öteleme ve dönme kinetik enerjileri.


Eylemsizlik Momenti

Eylemsizlik momenti bir cismin dönme hareketine karşı gösterdiği dirençtir.

Dönme eksenine r uzaklığında olan m kütleli bir cismin eylemsizlik momenti ;

I = m.r2 olur.

m, kg cinsinden kütle, r ise m cinsinden uzunluktur.

Eylemsizlik momentinin birimi kg.m2  dir. 


Buna göre örneğin bir silindir dönme hareketi yapıyorsa silindirin dönme merkezine uzaklığı r olan aynı büyüklükteki parçaların eylemsizlik momenti eşit olur. r uzaklığı ve parçacık kütlesi değişirse eylemsizlik momenti de değişir.

EylemsizlikMoment_S12I1



Hareket halindeki bir cismin kinetik enerjisi m.V2/2 idi. Yukarıdaki şekilde m1, m2 ve mkütlelerinin kinetik enerjisini toplayalım.

Ek = m1.V12   
+m2.V2
+m3.V32
2
2
2




Çizgisel hız ile açısal hız arasında;

V = ω.r bağıntısı vardır. Silindirde yarıçapa farklı uzaklıktaki cisimlerin çizgisel hızları farklı, açısal hızları aynıdır. Kinetik enerji denkleminde çizgisel hız yerine açısal hızı kullanalım.

Ek = m1.(ωr1)2
+ m2.(ωr2)2
+ m3.(ωr3)2
2
2
2




Ek = m1. r122 
+m2. r222 
+m3. r322
2
2
2




Denklemi ω2/2 nin çarpan parantezine alalım.

Ek = (m1. r12 + m2. r22 + m3. r32) ω2
2



Parantez içindeki (m1. r12 + m2. r22 + m3. r32) ifadesi eylemsizlik momentidir.


Düzgün Geometrik Şekillerin Eylemsizlik Momentleri

Düzgün bir geometrik şekle sahip olan cisimlerin eylemsizlik momentleri hesaplanarak formül haline getirilmiştir. Bu cisimler aşağıda verilmiştir.


L Uzunluğundaki Çubuğun Eylemsizlik Momenti

EylemsizlikMoment_S12I2


Ekseninden geçirilen bir silindir vasıtasıyla dönme hareketi yapan m kütleli, L uzunluğundaki bir çubuğun eylemsizlik momenti;

I = 1 .m.L2
12



r Yarıçaplı Bir Silindirin Eylemsizlik Momenti

EylemsizlikMoment_S12I3


R yarıçaplı, m kütleli ekseni etrafında dönen bir silindirin eylemsizlik momenti

I = 1 .mr2
2





r Yarıçaplı Bir Kürenin Eylemsizlik Momenti

EylemsizlikMoment_S12I4


 m kütleli, r yarıçaplı bir kürenin eylemsizlik momenti;

I = 2 . mr2
5





Dikdörtgen Bir Plakanın Eylemsizlik Momenti

EylemsizlikMoment_S12I5


xy kenarından bir mile bağlanarak dönme hareketi yaptırılan ve mile bağlı kenarına komşu olan kenarının uzunluğu a olan dikdörtgensel bir plakanın eylemsizlik momenti;

I = 1 . m.a2
3



r yarıçaplı Dairesel Disk

EylemsizlikMoment_S12I6


r yarıçaplı m kütleli dairesel bir diskin eylemsizlik momenti;

I = 1 . mr2
2



r Yarıçaplı Bir Koninin Eylemsizlik Momenti

EylemsizlikMoment_S12I7


r yarıçaplı, m kütleli bir dik koninin eylemsizlik momenti;

I = 3 . m.r2
10




Kinetik Enerji ve Eylemsizlik Momenti

Dönerek ilerleyen bir cisim için iki türlü kinetik enerji söz konusudur. Bunlar öteleme ve dönme kinetik enerjisidir. 

Bir cismin dönme kinetik enerjisi aşağıdaki şekilde verilir.

Ek(d) =1 .I.ω2
2




Bir cismin öteleme kinetik enerjisi ise aşağıdaki şekilde verilir.

Ek(ö) =1 .I.V2
2




Dönme hareketi yapan bir cismin kinetik enerjisi öteleme ve dönme kinetik enerjilerinin toplamına eşittir.


Ek =1
.I.ω2 + 1. m.V2
2
2




Silindir şeklinde bir cisim dönerek ilerliyorsa, bu cisim için kinetik enerji;

Ek = 1
.I.ω2 +1 . m.V2
2
2




Denkleminde I yerine 

1.m.r2 ve ω yerine
2



V yazılırsa;
r




Ek = 1
.m.V2 + 1.m.V2
2
4




Ek = 3. m.V2  olarak bulunur.
4




Örnek:

Açısal hızı 5 rad/s, çizgisel hızı 10 m/s ve eylemsizlik momenti 8 kg.m2 olan 2 kg kütleli bir cismin kinetik enerjisini bulunuz.


Çözüm:

Ek = 1
.I.ω2 +1 . m.V2
2
2




 Denkleminden;

Ek =1
. 8 . 25 +1. 2 . 100
2
2




Ek = 100 + 100 = 200 J


Örnek:

Kütlesi 16 kg, yarıçapı 0,5 m olan bir cisim 10 rad/s hızla dönmektedir. Bu silindir için;

a) Eylemsizlik momenti

b) Dönme kinetik enerjisi

c) Öteleme kinetik enerjisi

d) Toplam kinetik enerji

değerlerini bulunuz.


Çözüm:

a) Silindir için eylemsizlik momenti;

I =1.m.r2 bağıntısıyla verilir. 
2




Değerleri yerine koyarsak eylemsizlik momentini buluruz.

I =1. 16.0,25
2



I = 2 kg.m2


b) Silindirin dönme kinetik enerjisi;

Ek(d) =1. I. ω2
2



değerleri yerine koyarsak;

Ek(d) =1. 2. 100
2



Ek(d) = 100 J


c) Silindirin öteleme kinetik enerjisi;

Ek(ö) =1. m.V2 bağıntısıyla verilir. 
2



V = ω.r olduğundan;

V = 10.0,5 = 5 m/s olur.

Ek(ö)  =1. 16. 25
2




Ek(ö) = 200 J

d) Silindirin toplam kinetik enerjisi öteleme ve dönme kinetik enerjilerinin toplamına eşittir.


Ek = Ek(d) + Ek(ö)

Ek = 100 + 200 = 300 J olarak bulunur.


Silindir için toplam kinetik enerji;

Ek =3 . m . V2
4



bağıntısıyla da bulunur. Değerleri yerine koyarsak;

Ek =3. 16 . 25
4




Ek = 300 J olarak bulunur.


Düzgün Çembersel Hareket




SANATSAL BİLGİ

24/08/2017

  • YORUM YAZ
  • ADI SOYADI(veya nick)
  • YORUM
COPYRIGHT© HER HAKKI SAKLIDIR
Sitede Yer Alan Bilgi Belge Ve Materyallerin İzinsiz olarak Kopyalanması ve Alıntılanması Yasaktır

SANATSAL BILGI