HARMONİK HAREKETTE KONUM

12. sınıflar ve lys fizik dersi. Basit harmonik harekette konum denklemi. Bir cismin herhangi bir anda denge konumundan uzaklığı. Konu anlatımı ve örnekler.



Basit harmonik hareket yapan bir cismin denge noktasında uzaklaşabildiği maksimum mesafeye hareketin genliği deniliyordu. Basit harmonik harekette konum veya alınan yol dediğimiz zaman cismin denge noktasına olan uzaklığını ifade ediyoruz demektir.

Bhh_KonumS12R1


Örneğin yukarıdaki cisim BHH (basit harmonik hareket) yapıyor olsun. A noktası cismin denge noktasıdır. Cisim hareketsiz serbest bırakılırsa bu noktada durur. Cisim x kadar çekilip bırakılırsa A noktasının x kadar üzerinde ve x kadar altında gidip gelmeye başlar. Cismin konum, hız, ivme ve zaman bağıntıları bu aralık için yazılır.

Cismin hareketi genliği x olan sinüsoidal bir harekettir. Cismin hareketini sinüs veya cosinüs fonksiyonu şeklinde gösterebiliriz.

Çembersel hareket yapan cisimlerin hız, ivme ve konum bağıntılarından yararlanılarak BHH harekete ilişkin aşağıdaki konum denklemi ortaya çıkarılmıştır.

Bhh_KonumS12R2



Çembersel hareket yapan bir cismin yarçap vektörünün x ve y üzerindeki bileşenleri;

x = r.cosϑ

y = r.sinϑ bağıntısıyla verilir.

Bu değerler cismin x ve y eksenlerindeki izdüşümünü verir. Bu izdüşüm bize yarçap vektörünün ucundaki cismin O noktasına yatay ve düşey bileşenlerini verir.


Çembersel hareket yapan bir cismin açısal hızı;

ω = ϑ/t dir. bu durumda,

ϑ = ω.t olur.

Basit harmonik hareket yapan bir cismin konumu;

x = r.cos(ωt) ile verilir.


Bir cisim t = 0 anında denge noktasında ise konum vektörü 0’dır. Bu andan itibaren harekete başlarsa konum grafiği sinüs eğrisi biçiminde olur.

Eğer cisim t = 0 anında genlik noktasında ise cismin hareket grafiği cosinüs eğrisi biçiminde olur.

Buna göre cisim t = 0 anında denge noktasında ise konum denklemi;

x = A. Sin(ω.t) şeklinde alınır.

Cisim t = 0 anında genlik noktasında bulunuyorsa konum denklemi,

x = A. cos(ω.t) şeklinde alınır.

Konumun zamana göre türevi hızı vermektedir.

Konum denklemi;

x = A. Sin(ω.t) şeklinde ise hız denklemi,

V = ω.Acos(ω.t) şeklinde olur.


Konum denklemi;

x = A.cos(ω.t) şeklinde ise,

V = A. Sin(ω.t) şeklinde olur.


Örnek:

Basit harmonik hareket yapan bir cismin konum denklemi 16sin(π.t/6) cm şeklinde verilmiştir. Buna göre;


A) Hareketin genliği

B) Hareketin periyodu

C) t = 5 saniyede cismin denge noktasından uzaklığı

D) cismin maksimum uzaklığa ulaşması için geçen süreyi hesaplayınız.


A)

Bir cismin konum denkleminin başındaki değer hareketin genlik değeridir. Başka bir ifadeyle genliği A olan bir cismin konum denklemi;

x = Asin(ω.t) şeklinde verilir.

Buna göre hareketin genliği 16 cm’dir.


B) Hareketin periyodu sin(ω.t) ifadesindeki ω’dan yararlanılarak bulunur.

x = 16sin(π.t/6) cm ise,

ω’ = π dır.
6



ω =  olduğundan,
T




 
=π
6
T




12π = π.T

T = 12

T = 12 s

Cismin periyodu 12 saniyedir.

C)

t = 5 saniyede cismin konumu, t yerine 5 yazılarak;

x = 16sin(π.5/6) cm

şeklinde bulunur.

sin(5π/6) = 0,5 dir. Burada 5π/6, 150° ye karşılık gelmektedir.

 
= 5.180
6
 
6



 = 150°
6




Sin(150°) = 0,5


Buna göre;

x = 16sin(π.5/6) cm

= 16.0,5

= 8 cm olarak bulunur.

Cisim t = 5 saniyede denge noktasının 8 cm ilerisindedir.


Örnek:

Basit harmonik hareket yapan bir cismin konum denklemi;

x = 25cos(5π.t/2) cm ifadesiyle verilmiştir.

Buna göre;

A) Hareketin genliği nedir?

B) Hareketin periyodu nedir?

C) t = 2,5 saniyede cismin konumu nedir?


Çözüm:

A)

BHH yapan A genlikli bir cismin hareket denklemi cosinüs biçiminden yazılırsa, 

x = A.cos(ω.t) biçiminde olur.

Buradan genliğin 25 cm olduğu anlaşılır.

B)

ω, açısal frekanstır. Açısal frekans,

ω = 2πf = 2π/T dir.

konum ifadesini veren denklem;

25cos(5π.t/2) şeklinde ise;

ω’ =
2



ω =  olduğundan,
T




 
=
2
T



4 = 5T

T = 4 = 0,8 s
5



Hareketin periyodu 0,8 saniyedir.

C) 

t = 2 s’de cismin konumu,

x = 25cos(5π.2,5/2)

= 25cos(6,25π)

= 25cos(1125°)

= 25.0,7

= 17,5 cm

Cisim t = 2,5 s’de denge noktasının 17,5 cm ilerisindedir.


Örnek:

t = 0 anında denge konumunda bulunan, maksimum uzanımı 29 cm, periyodu 8s olan cismin basit harmonik hareketteki konum denklemini yazınız.


Çözüm:

Bizden Acos(ωt) biçiminde bir denklem yazmamız istenmektedir.

Cismin maksimum uzanımı 29 cm ise,

A = 29 olur.

Cismin periyodu 8 s ise;

ω = 2π/T şeklindedir. T periyottur. Periyoda göre ω değeri değişir.

ω =
8



ω = π olarak bulunur.
4




Buna göre cismin konum denklemi;

x = 29cos(π.t/4) şeklinde olur.


Basit Harmonik Harekette Hız

Basit Harmonik Harekette Kavramlar ve Periyot

BHH Çözümlü Sorular


SANATSAL BİLGİ

18/10/2017

  • YORUM YAZ
  • ADI SOYADI(veya nick)
  • YORUM
COPYRIGHT© HER HAKKI SAKLIDIR
Sitede Yer Alan Bilgi Belge Ve Materyallerin İzinsiz olarak Kopyalanması ve Alıntılanması Yasaktır

SANATSAL BILGI