Özel Ders

MERKEZCİL KUVVET VE İVME

12. Sınıflar fizik dersi. Düzgün dairesel harekette merkezcil ivme ve merkezcil kuvvet konusu. Merkezcil ivme, hız ve periyot arasındaki bağıntılar. Konu anlatımı ve örnekler.

Merkezcil İvme

Düzgün çembersel harekette bir cismin çizgisel hızı;

V =	2πr	ile veriliyordu.
	T

Düzgün çembersel harekette cisim eşit zaman aralıklarında eşit yollar alır. Ancak çembersel harekette hız vektörünün yönü sürekli değişir. Bu yön değişiminin nedeni cismi sürekli olarak çemberin merkezine çeken bir kuvvetten kaynaklanır. Bu kuvvete merkezcil kuvvet denir. Merkezcil ivme, merkezcil kuvvet tarafından oluşturulur.

MerkezcilIvme_S12I1

Cismin t₁ anındaki hızı V₁, t₂ anındaki hızı V₂ olsun. İvme birim zamanda hızdaki değişim idi. Ortalama ivme ise;

a_ort =	V₂– V₁
	t₂ – t₁

a_ort =	ΔV	(1)
	Δt

Cismin çember etrafında bir tam devir yapmasına kadar geçen süreyi küçük zaman aralıklarına böler ve bu zaman aralıklarında hızdaki değişim vektörlerini uç uca eklersek yarıçapı V olan bir çember elde ederiz. Çemberin çevresi 2πr olduğundan r yerine V yazarsak 2πV ifadesi çemberin çevresi olur. Bu da hızdaki değişimlerin toplamını verir.

Öte yandan cisim çemberin etrafında bir tam tur dönünceye kadar T süre geçmiştir. T ifadesi t_s – t_i = Δt ifadesine eşittir.

Bu durumda ΔV = 2πV, Δt = T olur.

a =	2πV	olur. (2)
	T

T =	2πr	idi. Bunu yerine yazalım.
	V

a =

2πV

	2πr
	V

a =	V²	olur.
	r

Buna göre merkezcil ivme;

a =	V²	dir.
	r

Açısal hızdan yararlanarak merkezcil ivmeyi bulmak istersek;

V = ω.r olduğundan;

a =	ω².r²
	r

a = ω².r olur.

Örnek:

Yarıçapı 15 m olan bir çember üzerindeki bir cisim, çember üzerindeki 30 m lik yolu 2 saniyede almaktadır. Bu cisim için;

a) Periyodu nedir?

b) Frekansı nedir?

c) Çizgisel hızı nedir?

d) Açısal hızı nedir?

e) Merkezcil ivmesi nedir?

Sorularını cevaplayınız.

(π = 3 alınız)

Çözüm:

a) cismin çember çevresinde bir tam tur dönmesi için geçen süre 1 periyottur.

Cismin çevresini bulalım.

Ç = 2.3.15 = 90 m

30 m lik yolu 2 saniyede alırsa

90 m lik yolu T saniyede alır.

T =	180	= 6 saniye
	30

Cismin periyodu 6 saniyedir.

b) Cismin frekansı

f =	1
	T

f =	1	Hz
	6

c) Çizgisel hız

V =	2.π.r
	T

V =	2.3.15
	6

V = 15 m/s

d) Açısal Hız

ω = 2.π.f olduğundan;

ω = 2.3.	1
	6

ω = 1 rad/s

e) Merkezcil ivme

a =	V²
	r

a =	15²
	15

a = 15 m/s²

Örnek:

Yarıçapı 60 m çembersel bir yol üzerinde hareket eden cismin ivmesi 15 m/s² olduğuna göre bu cismin çizgisel hızı kaç m/s dir?

Çözüm:

a =	V²	olduğundan
	r

15 =	V²
	60

V² = 900

V = 30 m/s

Merkezcil Kuvvet

Dairesel bir düzlem çevresinde hareket eden bir cismi bu düzlem üzerinde tutan bir kuvvet vardır. Bu kuvvet cismin her zaman dairesel alanın merkezinden eşit uzaklıkta yol almasını sağlayan kuvvettir. Bu kuvvet cismin yönünü sürekli değiştiren ve izlediği yolun çembersel olmasını sağlayan kuvvettir. Bu kuvvete merkezcil kuvvet denir.

Merkezcil kuvvet aynı zamanda merkezcil ivmeyi meydana getiren kuvvettir. Yönü merkezcil ivmenin yönü ile aynı ve daire merkezine doğrudur.

F = m.a bağıntısını merkezcil kuvvet için uygularsak m kütleli bir cisme etki eden merkezcil kuvvet;

F_m =	m.V²	olur.
	r

a = ω².r eşitliğini kullanırsak;

F_m = m.ω².r olur.

Merkezkaç Kuvveti

Merkezkaç kuvveti dönen bir sistemin içindeki gözlemcinin gözlediği kuvvetdir. Bu kuvvet gerçek bir kuvvet olmayıp hayali bir kuvvettir, yönü merkezin dışına doğrudur.

Örnek:

0,5 kg lık bir cisim yarıçapı 20 m olan çembersel bir yörüngede sabit büyüklükte bir hızla yol almaktadır. Cisim çembersel yörüngede dakikada 10 tur attığına göre merkezcil ivmeyi ve merkezcil kuvveti bulunuz.

(π = 3 alınız)

Çözüm:

Cismin yörüngesinin uzunluğunu bulalım.

Ç = 2.π.r

Ç = 2.3.20 = 120 m

Cisim 1 dakikada 10 tur atıyorsa 1 saniyede