Özel Ders

VEKTÖRLERİ BİLEŞENLERİNE AYIRMA

11. Sınıflar ve lys fizik konusu. Vektörlerin bileşenlerine ayrılması. Bir vektörü x ve y eksenindeki bileşenlerine ayırmak. Konu anlatımı ve çözümlü örnekler.

Bir vektörü x ve y eksenlerinde tanımlı iki vektörün toplamı şeklinde göstermeye vektörün bileşenlerine ayrılması denir.

Bir vektörü bileşenlerine ayırmak, o vektörü birbirine dik iki vektör şeklinde ifade etmektir.

Vektörleri bileşenlerine ayırmak, cisimlere etkiyen dik kuvveti bulmakta kolaylık sağlayacağı gibi çok sayıda vektörün olduğu sorularda bu vektörlerin x ve y eksenlerindeki bileşenleri bulunarak kolayca toplama ve çıkarma işlemi yapılabilmesini sağlar.

Bir Vektörün Bileşenlerine Ayrılması

1. Vektörün y eksenindeki bileşenini bulma

bilesenlere ayirma_1

Yukarıdaki vektörün y ekseni doğrultusundaki bileşenini bulmak için sinüs ifadesinden yararlanılır.

bilesenlere ayirma_2

Şekilde mavi renkle gösterilen Ay vektörü A vektörünün y eksenindeki bileşenidir.

Bu vektörün değerini bulmak için;

	Karşı Dik Kenar	= sin37°
	Hipotenüs

	A_y	= 0,6
	120

A_y = 120.0,6

A_y = 72 N

2. Vektörün x eksenindeki bileşenini bulma

Vektörün x ekseni doğrultusundaki bileşenini bulmak için cosinüs ifadesinden yararlanılır.

bilesenlere ayirma_3

	Komşu Dik Kenar	= Cos37°
	Hipotenüs

	A_x	= 0,8
	120

A_x = 120.0,8

A_x = 96 N

Böylece vektör dik bileşenlerine ayrılmış olur. Bu işlem vektörleri toplayıp çıkarmada ve cisme uyguladıkları dik kuvveti bulmada oldukça kolaylık sağlar.

Vektörlerin kullanıldığı hemen her soruda bileşenlerine ayırma kullanılır.

Örnek:

bilesenlere ayirma_4

Yukarıda bir K cismine uygulanan kuvvetler gösterilmiştir.

Cisme uygulanan bileşke kuvveti bulunuz.

Çözüm:

Vektörleri tek tek bileşenlerine ayıracağız.

V₁ vektörü x ekseni doğrultusundadır. V_1x = 48 N, V_1y = 0 N dur.

bilesenlere ayirma_5

V₂ vektörünün dikey bileşeni aşağıdaki formülle bulunur.

sin53° =	Karşı Dik Kenar
	Hipotenüs

0,8 =	V_2y
	25 N

V_2y = 20 N

V_2y bileşenini şu formülle de bulabiliriz. V₂ vektörünün dik bileşeni olan V_2y vektörünü sağ tarafa kaydırırsak 37° lik açının yanında yer alır. Bu kez cosinüs ifadesi kullanılır.

bilesenlere ayirma_6

Cos37° =	V_2y
	25 N

0,8 =	V_2y
	25 N

V_2y = 20 N

Şimdi V₂ nin yatay bileşeni olan V_2x vektörünü bulalım. V_2x vektörü 53°nin yanında yer alıyor. Cosinüs ifadesi uygulanır.

bilesenlere ayirma_7

0,6 =	Komşu Dik Kenar
	Hipotenüs

0,6 =	V_2x
	25 N

V_2x = 15 N

V_2x bileşenini aşağıdaki şekilde de bulabiliriz.

Aşağıdaki şekilde V_2x vektörünü yukarı taşıdık ve 37° nin karşısına geldi. Şimdi V_2x bileşenini bulmak için sinüs ifadesini uygulayacağız.

bilesenlere ayirma_8

Sin37° =	Karşı Dik Kenar
	Hipotenüs

0,6 =	V_2x
	25 N

V_2x = 15 N

V₃ vektörünün bileşenlerini bulalım.

bilesenlere ayirma_9

Yatay Bileşeni

Cos37° =	V_3x
	30 N

0,8 =	V_3x
	30 N

V3x = 24 N

Yatay bileşeni bulmamızı sağlayan 2. Formülü unutmayalım.

Sin53° =	karşı dik kenar
	hipotenüs

0,8 =	V_3x
	30 N

V_3x = 24 N

Burada şunu belirtelim. Kısaca yatay bileşen vektörün x ekseni ile yaptığı açının cosinüsü ile vektörün çarpımına eşittir.

Yani V_3x = V₃.cos37°

V_3x = 30.0,8 = 24 N dur.

Dikey Bileşeni

Sin37° =	karşı dik kenar
	hipotenüs

0,6 =	V_3y
	30 N

V_3y = 0,6. 30N

V_3y = 18 N

Kısaca dik bileşen, vektörün x ekseni ile yaptığı açının sinüsünün vektörle çarpımına eşittir.

V_3y = 30 N . sin37°

V_3y = 30 N. 0,6

V_3y = 18 N

Şimdi buraya kadar öğrendiklerimizden V₄ vektörünün bileşenlerini hemen hesaplayalım. V₄vektörünün x ekseni ile yaptığı açı 53° dir, o halde;

V_4x = V₄.cos53°

V_4x = 40. 0,6

V_4x = 24 N

V_4y= V₄ . Sin53°

V_4y = 40 N . 0,8

V_4y = 32 N

Şimdi x ekseni doğrultusundaki bileşenleri toplayarak x ekseni doğrultusundaki bileşke vektörü bulalım. X ekseninin pozitif yönüne bakan bileşenleri (+), x ekseninin negatif yönüne bakan bileşenleri ( - ) alacağız.

V_tx = V_1x + V_2x + V_3x +V_4x

V_tx = 48 N + 15 N + 24 N – 24 N

V_tx = 63 N

Y ekseni doğrultusundaki toplam vektör. Y ekseninin pozitif yönüne bakan bileşenleri (+), negatif yönüne bakan bileşenleri ( - ) olarak alacağız.

V_ty = V_1y + V_2y + V_3y+ V_4y

V_ty= 0 - 20 N + 18 N + 32 N

V_ty= 30 N

Şimdi elimizde x ekseni doğrultusunda 63 N, y ekseni doğrultusunda 30 N luk iki kuvvet var. Bunların bileşkesini bulalım.

bilesenlere ayirma_10