8. SINIF ASAL ÇARPANLAR VE KATLAR
8. Sınıflar matematik dersi. Ortak çarpanlar ve katlar. Bir sayının asal çarpanları. Sayıyı asal çarpanlarına ayırma. Konu anlatımı ve örnekler.
Çarpan Kavramı
Bir A sayısı n tane sayının çarpımı biçiminde ifade edilebiliyorsa bu n sayının herbirine A sayısının bir çarpanı denir.
A sayısının çarpanlarından herbiri aynı zamanda A sayısının bir tam bölenidir.
Örneğin, 48 sayısını hangi sayıların çarpımı biçiminde yazabileceğimize bakalım.
48= 48.1
48 = 2.24
48 = 4. 12
48 = 8.6
48 = 16.3
48 in çarpanları 48, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24,48 dir. Bu sayıların herbiri 48 sayısını kalansız bölebilir.
Kat Kavramı
Bir A sayısının tam katlarından herbirine A sayısının bir katı denir. A sayısının katları A, 2A, 3A şeklinde ifade edilir.
Örnek:
9 sayısının katları;
9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99, 108
9 sayısını 1’den başlayarak n’ye kadar doğal sayılarla çarparsak bu sayıların herbiri 9 sayısının bir katı olur.
Asal Çarpan Kavramı
Bir asal sayı 1’den ve kendisinden başka doğal sayı böleni olmayan sayıdır. Asal sayılar daha küçük sayılara ayrılamazlar.
Örneğin 3 sayısı 3.1 şeklinde ifade edilir. Bu sayı başka herhangi iki sayının çarpımı biçiminde ifade edilemez.
Bir sayının asal çarpanları bu sayının daha küçük sayılara bölünemeyen çarpanlarıdır. Bir sayıyı asal çarpanlar şeklinde ifade edersek bu sayıyı mümkün olan en küçük çarpanlarına ayırmış oluruz.
Örneğin;
24 sayısını asal çarpanlarına ayıralım.
24 = 2.2.2.3
24 sayısının en küçük çarpanları 2 ve 3 tür.
24 sayısı 23 . 3 şeklinde ifade edilebilir.
Asal Çarpanlarına Ayırma
Bir sayıyı asal çarpanlarına ayırmanın bir yolu bu sayıyı bölünebileceği en küçük sayıdan başlayarak sürekli en küçük tam bölenlerine bölmektir.
Örnek:
180 sayısını asal çarpanlarına ayıralım.
Çözüm:
180 sayısı 2 ye bölünebilmektedir. O halde bu sayıyı 2’ye bölerek ufalamaya başlarız. İşleme 1 kalıncaya kadar devam ederiz.
180:2 = 90
90:2 = 45
45:3= 15
15: 3 = 5
5:5 = 1
Bu işlem daha pratik olması ve birçok sayının aynı anda bölünebilmesi açısından aşağıdaki şekilde yapılmaktadır.
180|2
90 | 2
45 | 3
15 | 3
5 | 5
1 |
180 sayısının asal çarpanları 2,3 ve 5 tir.
180 sayısının diğer çarpanları asal değildir.
Örneğin 180 sayısını 9 . 20 şeklinde yazabiliriz ama 9 ve 20 sayıları asal sayılar değildir. Bununla birlikte 9 ve 20 sayısı da 180 sayısının birer çarpanıdır. 180 sayısı bu sayılara kalansız bölünebilir.
Çarpan Ağacı
180 sayısı aşağıda çarpan ağacı yöntemiyle çarpanlarına ayrılmıştır.
180 = 2. 2. 3. 3. 5
180 sayısını asal çarpanlarının üsleri biçiminde yazalım.
180 = 22 . 32 . 5
Örnek:
240 sayısını asal çarpanlarına ayırınız.
Çözüm:
240 sayısı 2’ye bölünebildiğinden 2 den başlayarak en küçük sayılarla 1 sonucunu elde edinceye kadar ufalarız.
240 | 2
120 | 2
60 | 2
30 | 2
15 | 3
5 | 5
1 |
240 = 2.2.2.2.3.5
240 = 24 . 3.5
Şeklindedir.
Örnek:
450 sayısını asal çarpanlarına ayırınız ve bu sayıyı asal çarpanlarının üssü biçiminde yazınız.
Çözüm:
Bu sayı çift olduğundan 2’ye bölünebilir. O halde 2’ye bölerek başlayalım.
450 | 2
225 | 5
45 | 5
9 | 3
3 | 3
1 |
450 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış biçimi;
450 = 2.5.5.3.3
450 sayısının asal çarpanlarının kuvvetleri biçiminde yazılışı.
450 = 2.32.52
Örnek:
1575 sayısını asal çarpanlarına ayırınız.
Çözüm:
Bu sayı çift olmadığından 2’ye bölünemez. O halde başka bir sayıdan başlayacağız.
En kolayı son rakamı 5 olduğundan sayıyı 5’ e bölerek başlayabiliriz.
1575 | 5
315 | 5
63 | 7
9 | 3
3 | 3
1 |
1575 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış biçimi;
1575 = 5.5.3.3.7
1575 sayısının asal çarpanlarının kuvvetleri biçiminde yazılışı.
1575 = 52 . 32 . 7
8. Sınıf OBEB ve OKEK
SANATSAL BİLGİ
29/08/2017