8. SINIF KONİNİN ALANI

8. Sınıflar matematik dersi. Katı cisimlerin alanları ve hacimleri konusu. Koninin alan ve hacminin hesaplanması. Konu anlatımı.




Koni_I8O1


Dairesel bir alanın çevresindeki noktalardan çıkan doğru parçalarının, dairesel bölgenin merkezinden çıkan bir doğru parçası ile belli bir uzaklıkta birleşmeleri ile oluşan geometrik cisme koni denir.

Dairesel bölgeye koninin tabanı, dairesel bölgenin merkezinden çıkan ve bu bölgenin kenar noktalarından çıkan doğru parçalarıyla birleşen doğru parçasına koninin ekseni denir.

Tepe noktasından taban alanının bir kenarına uzanan doğru parçasına ana doğru denir. Ana doğruların uzaklıkları birbirlerine eşittir.

Koninin taban alanındaki tüm noktalardan geçen ve koninin tepe noktasında birleşen doğru parçalarının oluşturduğu bölgeye koninin yüzey alanı denir.

Ekseni taban alanına dik olana koniye dik koni, eğik olan koniye eğik koni adı verilir.


Bir koni dairesel bir bölge ile dairesel bir bölgeden elde edilen bir daire diliminin birleşiminden meydana gelir.

Koni_I8O2


Koni_I8O3


Koninin Taban Alanının Hesaplanması

Koninin taban alanı dairesel bölge olduğu için, koninin taban alanı dairenin alanı gibi hesaplanır. Yarıçapı r olan bir dairenin alanı;

A = π.r2 idi.

Taban bölgesinin yarıçapı r olan bir koninin taban alanı da;

TA = π.r2  olur.


Koninin Yanal Yüzeyinin Hesaplanması

Koninin yan yüzey alanını 2 şekilde hesaplayabiliriz. Birinci yöntem olarak hazır formül kullanarak hesaplayalım.

Yarıçapı r, ana doğrusunun uzunluğu a olan bir koninin yanal alanı;

YA  = 2.π.r.a = π.r.a dır.
2




Bu durumda bir koninin toplam alanı;

A = TA  + YA

A = π.r2 + π.r.a

A = π.r(r + a) olur.


2. Bir yol olarak koninin taban alanı bir daire, yanal yüzeyi daire parçası olduğundan bu iki parça arasında bir ilişki vardır. Daire diliminin çizdiği yay, koninin taban bölgesini çevrelemek zorundadır.

Koni_I8O4



B dairesinin çevresi 2.π.r dir.

A dairesindeki daire diliminin çizdiği yay;

2.π.R . α dır.
360




α açısının gördüğü yay B dairesinin çevresini sarmalayacaktır. Dolayısıyla;

2.π.R . α = 2.π.r
360



R . α = r
360



r
=α
360
 
R



Daire diliminin alanı. π.R2 olduğundan;
360



koninin toplam alanı;

A = π.r2 + π.R2 olur.
360




Örnek:

Taban yarıçapı 6 cm, ana doğrusunun uzunluğu 24 cm olan koninin alanı kaç cm2  dir.

(Not: π = 3 cm alınız)

Çözüm:

1. Yol

A = π.r(r + a)

A = 3.6(6 + 24)

A = 18.30

A = 540 cm2


2. Yol

Önce α açısının ölçüsünü bulalım.

2.π.R . α = 2.π.r
360




2.π ler karşılıklı sadeleşir.

R . α = r
360



24 . α = 6
360



α = 90°


α açısının gördüğü daire diliminin alanı aynı zamanda koninin yüzey alanıdır.

YA =π . R2 . α 
360



YA =3.242 . 90
360



YA = 432 cm2


Taban Alanı,

TA  = π.r2

TA = 3.36

TA = 108 cm2


Toplam alan,

A = 432 + 108

A = 540 cm2 olarak bulunur.


Örnek:

Koni_I8O5


Yukarıdaki koninin yüzey alanı kaç cm2 dir.

(π = 3 alınız)

Çözüm:

1. Yol

A = π.r(r+a)

A = 3.4(4 + 15)

A = 12 . 19

A = 228 cm


2. Yol

Taban çevresi,

Ç = 2.π.r 

Koninin yanal yüzeyin çizdiği yay,

Ç2 =2.π.R . α
360



Bu iki yay birbirine eşittir.

2.π.R . α = 2.π.r
360




2.π ler sadeleşir.

R . α = r
360



15 . α = 4
360



α = 4
24



α = 96°


Koninin yan yüz alanı,

YA = π.R2 . α
360



YA = 3 . 152 . 96
360



YA = 180 cm


Koninin taban alanı,

TA = 3.16

TA = 48 cm

Koninin toplam alanı,

A = 48 + 180

A = 228 cm


Koninin Hacmi

Bir koninin hacmi, taban alanı ile yüksekliğinin çarpımının 3 te birine eşittir.

Vkoni = π.r2. h
3





Örnek:

Koni_I8O6


Yukarıdaki koninin hacmi kaç cm3  tür.


(Not: π = 3 alınız)

Çözüm:

V = π.r2.h
3



V = 3.64.12
3



V = 3.64 . 4

V = 768 cm3  olarak bulunur.


Piramitlerin Alan ve Hacmi




SANATSAL BİLGİ

06/05/2017

  • YORUM YAZ
  • ADI SOYADI(veya nick)
  • YORUM
COPYRIGHT© HER HAKKI SAKLIDIR
Sitede Yer Alan Bilgi Belge Ve Materyallerin İzinsiz olarak Kopyalanması ve Alıntılanması Yasaktır

SANATSAL BILGI