8. SINIFLAR OBEB VE OKEK

8. Sınıflar matematik konusu. Ortak bölenlerin en büyüğü ile ortak katların en küçüğünün bulunması. Konu anlatımı ve örnekler.

Ortak Bölenlerin En Büyüğü

İki veya daha fazla doğal sayıyı birlikte bölen en büyük doğal sayıya bu doğal sayıların "ortak bölenlerinin en büyüğü" denir.

Ortak Katların En Küçüğü

İki veya daha fazla sayının katları içinde ortak olan en küçük sayıya bu sayıların "ortak katlarının en küçüğü" denir.

Ortak Bölenlerin En Büyüğünün Bulunması

En büyük ortak bölenin bulunmasında aşağıdaki adımlar uygulanabilir.

1-OBEB i bulunacak sayılar asal çarpanlarına ayrılır. 

2-Asal çarpanlar üslü biçimde yazılır.

3- Ortak asal çarpanlar ve ortak asal çarpanların kuvvetleri tespit edilerek ayrılır.

4- Ortak asal çarpanlar ve bu çarpanların ortak kuvveti bir kez alınarak birbiriyle çarpılır.

Örnek:

72 ile 90 sayısının OBEB ini bulunuz.

Çözüm:

Her iki sayıyı asal çarpanlarına ayıralım.

72  90 |2

36  45 |3

12  15 |3

 4    5 |5

 4    1 |2

 2    1 | 2

 1    1 |

Burada 90 sayısının çarpanları 1 kalıncaya kadar, 72 sayısının çarpanları da 1 kalıncaya kadar kendilerini bölen sayılardır.

72 sayısının asal çarpanları

2, 3, 3, 2, 2 dir.

72 = 2.3.3.2.2. dir.

72 = 2³ . 3²

90 sayısının çarpanları

2, 3, 3, 5 sayılarıdır.

90 = 2.3.3.5 tir.

90 = 2.3².5

Şimdi 72 ile 90 sayısının en büyük ortak bölenini bulalım.

72 = 2.2.2.3.3

90 = 2.3.3.5

Mor renkli sayılar her iki sayının da çarpanları durumunda bu sayıları bir kez alırız.

OBEB(72, 90) = 2.3.3

OBEB(72, 90) = 18

Örnek:

840 ile 540 sayılarının OBEB ini bulunuz.

Çözüm:

Bu sayıları asal çarpanlarına ayıralım.

840   540 | 2

420   270 | 2

210   135 | 3

 70      45 | 5

 14        9 | 3

 14        3 | 3

 14        1 | 7

  2         1 | 2

  1         1 |

840 sayısının çarpanlarını bulalım. Yukarıdaki diyagramın sağında olup 840 değerini küçülten her sayı 840 sayısının bir çarpanıdır.

840 = 2 . 2 . 3. 5 . 7 . 2

540 sayısının çarpanları da yukarıdaki diyagramın sağ tarafında olup 540 sayısını azaltan sayılardır.

540 = 2.2.3.5.3.3

Şimdi 840 ile 540 sayılarının OBEB ini bulalım.

840 = 2 . 2 . 3. 5 . 7 . 2

540 = 2. 2. 3. 5. 3. 3

Yukarıda mor renkli sayılar hem 840 sayısının hem de 540 sayısının çarpanları durumundadır. Bu sayılar 840 ile 540 sayılarının OBEB idir.

OBEB (840, 540) = 2.2.3.5

OBEB (840, 540) = 60

Ortak Katların En Küçüğünün Bulunması

En küçük ortak katın bulunmasında aşağıdaki adımlar uygulanabilir.

1-OKEK i bulunacak sayılar asal çarpanlarına ayrılır. 

2-Asal çarpanlar üslü biçimde yazılır.

3- Ortak asal çarpanlar ve ortak asal çarpanların kuvvetleri tespit edilerek ayrılır.

4- Ortak asal çarpanlar ve bu çarpanların ortak kuvveti bir kez, ortak olmayan çarpanların tamamı alınarak birbiriyle çarpılır.

Örnek:

840 ile 540 sayılarının OKEK ini bulunuz.

Çözüm:

Sayıları asal çarpanlarına ayıralım.

840   540 | 2

420   270 | 2

210   135 | 3

 70      45 | 5

 14        9 | 3

 14        3 | 3

 14        1 | 7

  2         1 | 2

  1         1 |

840 = 2 . 2 . 3. 5 . 7 . 2

540 = 2. 2. 3. 5. 3. 3

Buraya kadarki işlem OBEB deki gibi yapılır. Şimdi OBEB den farklı olarak yapacaımız işlemi anlatalım.

840 = 2 . 2 . 3. 5 . 7 . 2

540 = 2. 2. 3. 5. 3. 3

Yukarıda yeşil renkli çarpanlar her iki sayıda da ortak olup kırmızı ve mavi renkli sayılar ortak olmayan çarpanlardır. Yeşil renkli sayıları bir kez alacağız ve bu çarpanlara ortak olmayan çarpanları ilave edeceğiz.

OKEK(840, 540) = 2 . 2 . 3. 5 . 7 . 2 . 3 . 3

OKEK (840, 540) = 7560

Örnek:

45 ile 72 sayılarının OKEK ini bulalım.

Çözüm:

72   45 | 3

24   15 |3

 8      5 |5

 8      1 |2

 4      1 |2

 2      1 | 2

 1      1 |

45 sayısının asal çarpanları

45 = 3.3.5

72 sayısının asal çarpanları

72 = 3.3.2.2.2

Bu sayıların OKEK ini bulalım.

45 = 3.3.5

72 = 3.3.2.2.2

72 ile 45 sayısının ortak çarpanları 3.3. = 9 dur. Bu çarpanı bir kez alacağız. 

72 ile 45 sayısının ortak olmayan çarpanları 5 ve 8 sayılarıdır. Bu sayıların tamamını alacağız.

OKEK(72, 45) = 3.3.2.2.2. 5

OKEK(72, 45) =360

Aralarında Asal Sayılar

İki sayının 1 den farklı bir ortak bir çarpanı yoksa bu iki sayı aralarında asaldır.

Örneğin;

78 ile 17 sayıları aralarında asaldır. Çünkü bu iki sayının 1 dışında hiç ortak çarpanı yoktur.

78 = 2.39

78 = 78.1

17 = 1.17 dir.

Örneğin:

65 ile 136 sayıları aralarında asaldır.

65 = 5.13

65 = 1.65

136 = 17.8 dir.

136 = 1.136

Görüldüğü gibi bu sayıların 1 den farklı bir ortak çarpanları yoktur. 1 den farklı ortak bir bölenleri de yoktur.

Aralarında asal sayıların OBEB leri 1 dir. OKEK leri ise bu iki sayının çarpımına eşittir.

OBEB (78, 17) = 1

OKEK(78, 17) = 78.17 = 1326

OBEB OKEK Çözümlü Sorular

8. Sınıf Asal Çarpanlar ve Ortak Katlar

SANATSAL BİLGİ

29/08/2017