6. SINIF ASAL ÇARPANLAR
6. Sınıf matematik konusu. Asal sayılar ve asal çarpanlar. Bir sayının asal çarpanlarının bulunması. Bir sayının asal çarpanları şeklinde yazılması.
Asal Sayılar
1 ve kendisinden başka böleni olmayan doğal sayılara asal sayılar denir.
Asal sayıları sadece 1 ve kendisinin çarpanı olarak ifade edebiliriz.
2, 3, 5, 7, 11, 13 gibi sayılar asal sayılardır. Bu sayıların 1 ve kendilerinden başka bölenleri yoktur.
En küçük asal sayı 2’dir. 2 aynı zamanda tek çift asal sayıdır.
13 sayısını 13.1 şeklinde ifade edebiliriz. 13 sayısının 1 ve 13 ten başka çarpanı yoktur.
24 sayısını,
24.1 = 24
12. 2 = 24
8.3 = 24
6.4 = 24 gibi çeşitli çarpımlar şeklinde ifade edebiliriz.
24 sayısının çarpanları 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 sayılarıdır. Görüldüğü gibi 24 sayısının 1 ve 24 dışında çarpanları bulunmaktadır. O halde 24 sayısı asal sayı değildir.
60 sayısının çarpanlarına bakalım
1.60 = 60
2.30 = 60
3.20 = 60
4.15= 60
5.12 = 60
6.10 = 60
60 sayısının çarpanları 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 sayılarıdır.
60 sayısının 2 den fazla çarpanı bulunduğundan veya başka bir deyişle 1 ve 60 sayıları dışında çarpanları bulunduğundan 60 sayısı asal sayı değildir.
17 sayısının 1 ve 17 dışında çarpanı yoktur. 17 sayısı 1 ve 17 dışında hiçbir sayıya kalansız bölünemez. O halde 17 sayısı bir asal sayısıdır.
Asal Çarpanlar
Bir doğal sayıyı asal çarpanlarının çarpımı şeklinde ifade etmeye asal çarpanlarına ayırma denir.
Örneğin; 15 sayısının çarpanları 1, 3, 5 ve 15’tir. 15 sayısını asal çarpanları şeklinde ifade edersek;
3.5 = 15 şeklinde yazarız.
60 sayısının çarpanları 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 sayıları idi. 60 sayısının asal çarpanları; 2, 3, 5 sayılarıdır. Şimdi 60 sayısını bu asal çarpanların çarpımı şeklinde gösterelim.
1> 60 = 30.2
2> 60 = 15.2.2
3> 60 = 3.5.2.2
Son adımdaki gösterimde 60 sayısı asal çarpanlarının çarpımı biçiminde gösterilmiş oldu. Başka bir deyişle 60 sayısını asal çarpanlarına ayırmış olduk.
Yukarıdaki 3. Adımı daha kısa biçimde aşağıdaki gibi yazabiliriz.
3.5.22 = 60
Bir sayıyı asal çarpanlarına ayırmak için sayı bölünebileceği en küçük sayıdan başlanarak sürekli bölünür. Bölen sayılardan asal olanları seçilir ve birbiriyle çarpım halinde gösterilir.
Örnek:
90 sayısının asal çarpanlarını bulunuz.
Çözüm:
90 |2 >> 90 sayısını 2 ye böleriz, bölüm 45 olur.
45 |3 >> 45 sayısını 3’e böleriz, bölüm 15 olur.
15 |3 >> 15 sayısını 3’e böleriz, bölüm 5 olur.
5 | 5 >> 5 sayısını 5’e böleriz, bölüm 1 olur.
1 |
Şimdi yukarıda dik çizgilerin sağındaki sayıları çarpım halinde yazarsak;
2.3.3.5 = 90 olur. Daha kısa biçimde,
2.32 . 5 = 90 biçiminde yazabiliriz. Böylece 90 sayısını asal çarpanlarının kuvvetleri biçiminde ifade etmiş olduk. Bu işleme 90 sayısının asal çarpanlarına ayrılması denir.
Örnek:
130 sayısının asal çarpanlarını bulunuz.
Çözüm:
130 | 2
65 | 5
13 |13
1 |
130 sayısının asal çarpanları 2, 3, 5 ve 13 tür.
Örnek:
240 sayısının asal çarpanlarının çarpımı biçiminde yazınız.
Çözüm:
240 | 2
120 | 2
60 | 2
30 | 2
15 | 3
5 | 5
1 |
130 = 2.2.2.2.3.5
130 = 24 . 3 . 5
Örnek:
1050 sayısını asal çarpanlarının çarpımı biçiminde yazınız.
Çözüm:
1050 | 2
525 | 5
105 | 5
21 | 3
7 | 7
1 |
1050 = 2 . 5 . 5 . 3 . 7
1050 = 2.52 . 3. 7
Aralarında Asal Sayılar
1’den başka doğal sayı böleni olmayan doğal sayılara aralarında asal sayılar denir.
Örnek:
37 ve 19 sayılarının 1 den başka ortak böleni yoktur.
Örnek:
51 ve 95 sayılarının aralarında asal olup olmadığını açıklayınız.
Çözüm:
51 sayısının çarpanları 1, 51, 17 ve 3 sayılarıdır. 51 sayısını 17.3 = 51 şeklinde veya 51.1 şeklinde yazabiliriz.
95 sayısının çarpanları 1, 95, 19 ve 5 sayılarıdır. 95 sayısını 19.5 şeklinde veya 1.95 şeklinde yazabiliriz.
51 ve 95 sayısının 1 den başka ortak çarpanı olmadığından bu sayılar aralarında asaldır.
SANATSAL BİLGİ
11/06/2017