Özel Ders

6. SINIF ORTAK KATLAR ÇÖZÜMLER

6. sınıflar matematik dersi. Doğal sayıların çarpanları ve katları. Doğal sayıların en küçük ortak katları. Çözümlü soruların çözümleri.

Çözüm – 1

Bir sayının 8’in katı olup olmadığının kontrolü en kısa biçimde o sayının 8’e bölünmesi ile anlaşılır. Eğer sayı 8’e kalansız bölünebiliyorsa o sayı 8’in bir katıdır.

Sorunun çözümünü bulmak için seçeneklerdeki sayıları veya soruda listelenen sayıları tek tek 8’e bölerek kalansız bölünüp bölünemediğine bakarız.

A seçeneğinde 32 sayısı 8 ile 4’ün çarpımıdır.

B seçeneğindeki 48 sayısı 6 ile 8’in çarpımıdır.

C seçeneğindeki 54 sayısının içinde 8 çarpanı yoktur.

D seçeneğindeki 96 sayısı 8 ile 12’nin çarpımıdır.

Doğru cevap C seçeneği.

Çözüm – 2

Seçeneklerde verilen sayıların tek tek çarpımlarına bakalım.

A seçeneğinde 26 sayısı 13 ile 2 sayılarının çarpımıdır.

B seçeneğinde 65 sayısı 13 ile 5 sayılarının çarpımıdır.

C seçeneğinde 91 sayısı 13 ile 7 sayılarının çarpımıdır.

D seçeneğinde 49 sayısı 7 ile 7 sayılarının çarpımıdır.

Doğru cevap D seçeneği.

Çözüm – 3

Bu soruyu iki yoldan çözelim.

1. Yol

12’nin katları;

12, 24, 36, 48, 60, 72

15’in katları

15, 30, 45, 60, 75, 90

Yukarıda görüleceği üzere 12 ile 15 sayılarının en küçük ortak katları 60 olmaktadır.

2. Yol

12 sayısının asal çarpanları

12 | 2

6 | 2

3 | 3

1 |

15 sayısının asal çarpanları

15 |3

5 |5

1 |

12 = 2.2.3

15 = 3.5

Her iki sayıda da ortak olan çarpan 3’tür. Ortak katların en küçüğünü bulurken ortak çarpanları 1 kez, ortak olmayan çarpanların hepsini alır ve birbirleriyle çarparız.

2.2.3.5 = 60 olur.

12 ve 15 sayılarının en küçük ortak katı aşağıdaki gibi yazılır.

OKEK(12, 15) = 60

Doğru cevap C seçeneği.

Çözüm – 4

1. Yol

8 ve 14 sayılarının katlarını yazarak en küçük ortak katlarını buluruz.

8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72

14, 28, 42, 56, 70, 84

İki sayının katları incelenirse en küçüklerinin 56 olduğu görülür.

2. Yol

8 sayısının asal çarpanları

8 |2

4 |2

2 |2

1 |

14 sayısının asal çarpanları

14 |2

7 |7

1 |

8 = 2.2.2

14 = 2.7

Her iki sayıda ortak bulunan 2 çarpanı 1 kez alınır.

8 sayısında olup 14 sayısında olmayan 2 tane 2 çarpanı vardır. 14 sayısında olup 8 sayısında olmayan 1 tane 7 sayısı vardır. Bu çarpanların tamamı alınır.

OKEK(8,14) = 2.7.2.2

OKEK(8,14) = 56

Doğru cevap C seçeneği.

Çözüm – 5

Bu soruyu 28 ve 35 sayılarının tek tek katlarını yazarak cevaplayabiliriz. Ancak bu yöntem zor ve uzundur. Aşağıdaki yöntemle daha teknik ve daha çabuk çözümü bulabiliriz.

28 sayısını asal çarpanlarına ayıralım.

28 | 2

14 | 2

7 | 7

1 |

28 sayısının asal çarpanları 2, 2, 7 sayılarıdır.

35 sayısının asal çarpanlarını bulalım.

35 | 5

7 | 7

1 |

35 sayısının asal çarpanları 5 ve 7 sayılarıdır.

28 = 2.2.7 dir.

35 = 5.7 dir.

Hem 28 sayısında hem de 35 sayısında 7 çarpanı ortaktır. Bu sayıyı bir kez alırız en küçük ortak katımızın bir çarpanı 7’tir.

28 sayısında olup, 35 sayısında olmayan 2.2 = 4 sayısı var bunu da ilave ederiz. OKEK’imizin çarpanları 4 ve 7 oldu.

35 sayısında olup 28 sayısında olmayan sayı ise 5’tir. Bu 5 sayısını da çarpanımıza ilave deceğiz.

En küçük ortak katımızın çarpanları şimdi 7, 4 ve 5 sayılarıdır. Bunları birbiriyle çarparsak;

7 . 4 . 5 = 140

O halde 28 ve 35 sayılarının en küçük ortak katı 140 tır. Bu ifade aşağıdaki gibi yazılır.

OKEK(28, 35) = 140

Doğru cevap B seçeneği.

Çözüm –6

Bu soruyu da pratik yöntemle çözelim. Bunun için sayıları asal çarpanlarına ayıralım.

12 sayısının asal çarpanları.

12 | 2

6 | 2

3 | 3

1 |

45 sayısının asal çarpanları.

45 | 5

9 | 3

3 | 3

1 |

12 sayısının asal çarpanları 2, 2, 3 tür.

45 sayısının asal çarpanları 5, 3, 3 tür.

Hem 12 sayısında hem de 45 sayısında ortak olan çarpan 3 sayısıdır. Ortak katların en küçüğünün bir çarpanı 3 olacaktır.

12 sayısında bulunup 45 sayısında bulunmayan sayı 2 . 2 = 4 sayısıdır. 4 sayısı da ortak katların çarpanlarından biridir.

45 sayısında olup 12 sayısında olmayan çarpanlar 5 ve 3 sayılarıdır, bunları da çarpana ilave ederiz. 45 sayısında 2 adet 3 çarpanı vardır. Bunların biri ortak olduğundan daha önce dahil ettik.

O halde en küçük ortak katın çarpanları 3, 4, 5 ve 3 sayılarıdır. Bunları çarparsak;

3 . 4 . 5 . 3 = 180 olur. En küçük ortak kat 180’dir. Bunu aşağıdaki gibi yazabiliriz.

OKEK( 12, 45) = 180

Doğru cevap D seçeneği.

Çözüm – 7

36 sayısının asal çarpanları.

36 | 2

18 | 2

9 | 3

3 |3

1 |

48 sayısının asal çarpanları.

48 | 2

24 | 2

12 | 2

6 | 2

3 | 3

1 |

36 sayısının asal çarpanları 2, 2, 3, 3 dür.

48 sayısının asal çarpanları 2, 2, 2, 2, 3 tür.

36 = 2.2.3.3

48 = 2.2.2.2.3

Aynı renkli sayılar her iki sayıda da ortak çarpandır. Bunlar 1 kez alınır.

Farklı renkteki sayılar ortak olmadığından hepsi çarpıma ilave edilir.

Hem 36 hem de 48 sayısında ortak olan çarpan 2.2.3 = 12 sayısıdır. Bu sayı ve ortak olmayan sayıların çarpımı 36 ve 48 sayılarının OKEK ini verir.

2.2.3. 2 . 2 . 3 = 144

OKEK (36, 48) = 144

Doğru cevap A seçeneği.

Çözüm –8

18 sayısının asal çarpanları,

18 |2

9 |3

3 |3

1 |

30 sayısının asal çarpanları,

30 |2

15 |3

5 |5

1 |

18 = 2.3.3

30 = 2.3.5

2 ve 3 her iki sayıda da ortaktır. 1 kez alınır. 5 sayısı sadece 30 sayısının çarpanıdır 1 kez alınır. 18 sayısında olup 30 sayısında olmayan 1 tane 3 var. Bu 3 sayısı da çarpıma dahil edilir.

OKEK(18, 30) = 2.3.5.3

OKEK(18, 30) = 90

Doğru cevap D seçeneği.

Çözüm – 9

Her sayının tek tek katlarını yazalım.

4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60

5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60

6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60

Yukarıdaki katlardan görüldüğü gibi 4, 5 ve 6 sayılarının en küçük ortak katları 60’tır.

Doğru cevap A seçeneği

Çözüm – 10

Herbir sayının katlarını sırasıyla yazalım.