ANALİTİK DÜZLEM VE NOKTA

Geometri dersi, analitik geometri konusu. Analitik düzlem nedir? Analitik düzlemde noktalar. Noktanın Analitik incelenmesi. Analitik düzlemde iki nokta arasındaki uzaklık.

Koordinat Sistemi ve Analitik Düzlem

Birbirlerini 0 noktalarında dik olarak kesen dikey ve yatay iki sayı doğrusunun oluşturduğu sisteme koordinat sistemi denir. Koordinat sisteminin üzerinde bulunduğu düzleme ise analitik düzlem denir. 

Koordinat sisteminde yatay olan doğruya apsisler ekseni, dikey olan doğruya ordinatlar ekseni denir.

Yukarıda görüldüğü gibi sayı doğrularının birbirini kestiği nokta 0 noktasıdır. Sayı doğruları bu kesişim noktasından her iki yöne doğru sonsuza uzar. Yani bitiş noktası yoktur.

Genel olarak apsis ekseni x ekseni olarak, ordinat ekseni y ekseni olarak adlandırılır. Biz de dikey olan eksene (ordinat) y ekseni, yatay olan eksene (apsis) x ekseni diyeceğiz.

Koordinat Sisteminin Özellikleri

1. 1. Bölgede hem x hem de y değerleri pozitiftir.

2. 2. Bölgede x değerleri negatif, y değerleri pozitiftir.

3. 3. Bölgede hem x, hem de y değerleri negatiftir.

4. 4. Bölgede y değerleri negatif, x değerleri pozitiftir.

5. Bu sistemde saat yönünün tersi yönde dönüş pozitif yön seçilmektedir.

6. x ekseni üzerinde yer alan tüm noktaların y değerleri (ordinatları) 0’dır.

7. y ekseni üzerinde yer alan tüm noktaların x değerleri (apsisleri) 0’dır.

8. Analitik düzlemde bir nokta hem x hem de y değerleri ile belirtilir. İlk bileşen apsisi, 2. Bileşen ordinatı gösterir.

Örneğin; x ekseni üzerindeki 5 noktasının koordinatları (5, 0) şeklinde gösterilir. y ekseni üzerindeki 5 noktasının koordinatları (0, 5) şeklinde gösterilir. Eksenler üzerinde yer almayan ve y ekseninde 5, x ekseninde 5 sayısına karşılık gelen bir noktanın koordinatları (5, 5) şeklinde gösterilir.

Örnek:

A(3, 6)

B( -3, 4)

C(-2, -6)

D(-5, 5)

E(-4, 0)

G(0, 2)

Yukarıdaki noktaları analitik düzlemde gösteriniz.

Çözüm:

Aşağıdaki analitik düzlemde bu noktalar gösterilmiştir.

Analitik Düzlemde İki Noktanın Birbirine Uzaklığı

İki nokta arasındaki uzaklığı bulmak için noktaların apsisleri ve ordinatları kendi aralarında çıkarılır ve farkın karesi alınır. Bu kareler toplamının karekökü iki nokta arasındaki uzaklığı verir.

A(x₁, y₁) ve B(x₂, y₂) noktaları arasındaki uzaklık,

|AB| = √(x2 – x1)² + (y2 – y1)²   

Örnek:

A(3, 9) ve B(15, 14) noktaları arasındaki uzaklığı bulunuz.

Çözüm:

 x₀ = x₂ – x₁

= 15 – 3

= 12

y₀ = y₂ – y₁

= 14 – 9 

= 5

|AB| =√ x0² + y0² 

= √144 + 25

= √169

= 13 br

Örnek:

Analitik düzlemde,

A(-5, - 7) ve B(5, 13) noktaları veriliyor.

Bu iki nokta arasındaki uzaklığı hesaplayınız.

Çözüm:

x₀ = 5 – (-5)

= 10

y₀ = 13 – (-7)

= 20 

|AB| = √x0² + y0²

= √100 + 400

=√500

= 10√5 br

Örnek:

Analitik düzlemde,

A(6, -8) ve B(-9, 7) noktaları veriliyor.

A ile B noktaları arasındaki uzaklığı hesaplayınız.

Çözüm:

x₀ = (-9) – 6

= - 15

y₀ = 7 – (-8)

= 15

|AB| = √x0² + y0²

= √15² + 15²

= √450

= 15√2

Örnek:

A(-3, -4) ve B(5, 6) 

Noktaları arasındaki uzaklığı analitik düzlemde göstererek ve üçgen yardımıyla hesaplayınız.

Çözüm:

x₀ = 5 - (-3) = 8br

y₀ = 6 - (-4) = 10

x₀ ve y₀ bir dik üçgenin dik kenarları olmaktadır. Bu iki nokta arasındaki uzaklık ise bu üçgenin hipotenüsü olmaktadır.

 2. Noktanın apsisinden ilk noktanın apsisini çıkarırsak x ekseni doğrultusundaki uzaklığı, 2. Noktanın ordinatından 1. Noktanın ordinatını çıkarırsak y ekseni doğrultusundaki uzaklığı buluruz. Bu iki çizgini uçlarını birleştirirsek bir dik üçgen oluşturmuş oluruz. Bu üçgenin hipotenüsü iki nokta arasındaki uzaklıktır.

Bir Doğru Parçasını Bölen Noktalar

SANATSAL BİLGİ

21/07/2019