BİR DOĞRU PARÇASINI BÖLEN NOKTALAR

Bir doğru parçasını orta noktadan kesen noktanın koordinatları. Bir doğru parçasını veya uzantısını herhangi bir noktada kesen noktanın koordinatlarının bulunması. Konu anlatımı ve çözümlü örnekler.



Bir Doğru Parçasını Belli Oranlarda Bölen Noktaların Koordinatları

Bir doğru parçasının uç noktalarının koordinatları A(x1, y1) ve B(x2, y2) ise bu doğru parçasının orta noktası C(x0, y0) olsun. x0 ve y0 aşağıdaki gibi bulunur.

x0 = x1 + x2
2




y0 = y1 + y2
2




Bu eşitliklerin ispatı üçgenlerin benzerliğinden yararlanılarak yapılabilir. A(x1, y1) ve B(x2, y2) koordinatlarının orta noktası D(x0, y0) olsun. 

Analitik_d2i1 


Yukarıdaki şekilde ADE ve BCD üçgenleri arasında AKA benzerliği vardır.

Her iki üçgenin DAE ve BDC açıları eşittir.

Aynı zamanda DEA ve DCB açıları da eşittir.

|AD| = |BD| dir.

|AE| = |DC| olacağından,

x0 – x1 = x2 – x0 olur.

Bu denklemi düzenlersek,

2x0 = x1 + x2

x0 = x1 + x2 olur.
2




|DE| = |BC| olacağından,

y0 – y1 = y2 – y0 olur.

Bu denklemi de düzenleyelim.

2y0 = y1 + y2

y0 = y1 + y2
2




Bu eşitliklerin sonucuna göre,

D(x0, y0) = (x1 + x2 
,y1 + y2) olur.
2
2




Örnek:

Bir doğru parçasının uç noktalarının koordinatları A(3, 6) ve B(15, 16) dır.

Bu doğru parçasının orta noktasının koordinatlarını bulunuz.


Çözüm:

Doğrunun orta noktası C(x0, y0) olsun.

x0 =3 + 15 = 9
2




y0 =6 + 16 = 11
2




Buna göre D(x0, y0) = D(9, 11) dir.


Örnek:

Uç noktaları A(x, 9) ve B(12, y) olan bir doğru parçasının orta noktası C(14, 12) olduğuna göre x + y toplamı kaçtır?


Çözüm:

Doğru parçasının orta noktasının koordinatları C(14, 12) ise,

14 =x + 12
2



28 = x + 12

x = 16


12 =9 + y
2




24 = 9 + y

y = 15

x + y = 16 + 15

= 31



Bir Doğru Parçasını Belli Bir Oranda Bölen Noktanın Koordinatları

Bir Doğru Parçasını İçten Bölen Nokta

İçten kesen nokta dediğimiz zaman, doğru parçasını iki uç noktası arasında bir bölgede kesen noktayı anlarız. Yani kesme noktası doğru parçası üzerindedir.

Bir AB doğru parçasının uç noktalarının koordinatları A(x1, y1) ve B(x2, y2) olsun. Bu doğru parçasını k oranında içten bölen bir noktanın koordinatları


x0 = x1 + kx2
1 + k




y0 = y1 + ky2
1 + k




Bu eşitlikte k =1 olursa x0, y0 noktaları doğru parçasının orta noktasının koordinatları olur.


Bir Doğru Parçasını Dıştan Bölen Nokta

Dıştan bölen nokta dediğimizde doğru parçasının uzantısını iki uç noktası arasındaki bölgenin dışında bir yerde kesen bir nokta anlarız. Yani kesme noktası doğru üzerinde değildir.


Bir AB doğru parçasının uç noktalarının koordinatları A(x1, y1) ve B(x2, y2) olsun. Bu doğru parçasını k oranından dıştan bölen bir C noktasının koordinatları,

x0 = x1 – kx2
1 – k




y0 =y1 – ky2
1 – k




Örnek:

Analitik düzlemde bir doğru parçasının uç noktalarının koordinatları A(-4, 6) ve B(8, 14) olarak veriliyor.

Bu doğru parçasının orta noktasının koordinatlarını bulunuz.


Çözüm:

AB doğru parçasının orta noktasının koordinatları C(x, y) olsun.

x = x2 – x1
2




x = 8 – (-4)
2




= 6


y=y2 – y1
2




y=14 – 6
2




= 4

C(x, y) = C(6, 4)


Örnek:

Analitik düzlemde bir AB doğrusunun uç noktalarının koordinatları A(-3, -7) ve B(12, 18) şeklinde veriliyor.


Bu doğru parçasını |AC|/|CB| = 3/2 olacak şekilde içten kesen bir C noktasının koordinatlarını belirleyiniz.


Çözüm:

Bir doğru parçasını içten kesen noktalar için denklem;

x0 =x1 + kx2
1 + k




y0 =y1 + ky2
1 + k




Burada k = 3/2 olarak verilmiştir. Denklemleri yerine yazalım.

Analitik_d2i2

= 8


Buna göre C(x0, y0) = C(6, 8) olur.

Analitik_d2i3


Yukarıdaki şekilde |AD| ve |DE| uzunluklarına dikkat ediniz. AD/DE = 9/6 = 3/2 dir. Öyleyse |AC| / |CB| = 3/2 olur.


Örnek:

Uç noktalarının koordinatları A(-5, 12) ve B(9, -6) olan doğru parçasını |CA|/|CB| = 5/3 oranında dıştan kesen C(x0, y0) noktasının koordinatlarını hesaplayınız.


Çözüm:

x0 = x1 – kx2
1 – k




y0 =y1 – ky2
1 – k




Burada k = 5/3 tir.

Analitik_d2i4


C(x0, y0) = C(30, -33)

Analitik_d2i5


Yukarıdaki şekilde görüldüğü gibi C noktasının x ekseni doğrultusundaki yatay mesafeleri,

|CA| / |CB| = 35/21 = 5/3 olmaktadır.  Bu oranlar gerek doğru üzerinde gerekse de x ekseni üzerinde ölçülen uzunluklarda değişmez (Üçgenlerde benzerlik kuralı).


Analitik Düzlem ve Nokta




SANATSAL BİLGİ

22/07/2019

  • YORUM YAZ
  • ADI SOYADI(veya nick)
  • YORUM
COPYRIGHT© HER HAKKI SAKLIDIR
Sitede Yer Alan Bilgi Belge Ve Materyallerin İzinsiz olarak Kopyalanması ve Alıntılanması Yasaktır

SANATSAL BILGI