BİR DOĞRUNUN DENKLEMİ

Analitik geometri konusu. Doğruların denklemlerinin oluşturulması. Bir noktasının koordinatları ve eğimi bilinen doğrunun denklemini oluşturmak. Konu anlatımı ve örnekler.


Analitik düzlemdeki her doğru bir denkleme sahiptir. Analitik düzlemde herhangi bir noktanın koordinatları (x, y) ikilisi ile verilir. Bazen bu doğru c kadar ötelenmiş olabilir. Bu denklemler genel olarak,

ax + by + c = 0 şeklindedir.

Bu denklemi çözecek olursak,

x değişkenini bulalım.

ax + by + c = 0

ax = - by – c

x = –by 
–c
b
b




Şimdi y değerini bulalım.

ax + by + c = 0

by = -ax – c

y = –ax 
–c
b
b




Bu eşitlikte –a/b = m ve – c/b = n dersek denklem aşağıdaki gibi olur.

y = mx + n

Bu denklemin eğimi m’dir. m aynı zamanda yukarıda açıkladığımız gibi – a/b değerine eşittir.

Şimdi doğru üzerindeki bir (x,y) koordinatlarından yararlanarak doğrunun denklemini nasıl yazabileceğimize bakalım.


1. Eğimi ve Bir Noktası Verilen Doğrunun Denklemi

 Dogru_denklemi1


Bir önceki sayfada bir doğrunun eğiminin nasıl bulunacağını anlatmıştık. İki noktası bilinen bir doğrunun eğimi,

y2 – y1
x2 – x1 



eşitliği ile bulunuyordu. Şu halde eğim biliniyorsa, bu eşitlik biliniyor demektir. Ayrıca bir noktanın koordinatları da elimizde olduğuna göre,

Elimizdeki koordinatları bilinen nokta A(x1, y1) olsun.

m = y – y1 dir.
x – x1 




Bu eşitlikten y – y1 = m(x – x1) olur. 

Ya da bunu şu şekilde de yapabiliriz:

y1 – y = m
x1 – x 




y1 – y = m(x1 – x)


Örnek:

K(6, 10) noktalarından geçen ve eğimi 2 olan doğrunun denklemini yazınız. Doğrunun yatay düzlemle yaptığı açıyı bulunuz.


Çözüm:

Doğru üzerinde bir A(x, y) noktası alalım ve denklemi kuralım.

2 = y – 10
x – 6 




2x – 12 = y – 10

2x – y – 2 = 0

Bu denklemde y yerine 10 yazarsak x = 6 değerini, x yerine 6 yazarsak y= 10 değerini verdiğine dikkat edin.


Doğrunun yatay düzlemle yaptığı açı arctan fonksiyonu kullanılarak bulunur.

Arctan(m )= tan-1 m

 tan-1 2 = 63,4 


Örnek:

 Dogru_denklemi2


Şekildeki doğrunun eğimi 2,5 olduğuna göre doğrunun denklemini yazınız. Bu doğruda y = 4 olduğunda x kaç olur?


Çözüm:

Doğrunun bir noktasının koordinatları ve eğimi elimizde.

Bir önceki sorudaki gibi yaparız. 

2,5 = y – 6
x – 10 




2,5x – 25 = y – 6 

Her iki tarafı 2 ile çarpalım.

5x – 50 = 2y – 12

5x – 2y – 38 = 0 (Doğrunun denklemi)


y = 4 olduğunda buna karşılık gelen x değeri,

5x – 2.4 – 38 = 0

5x = 46

x = 46/5

= 9,2


Örnek:

Denklemi 6x – 2y + 18 = 0 olan bir doğrunun eğimi kaçtır?


Çözüm:

ax + by + c = 0 şeklindeki bir denklemin eğimi,

m = -a/b şeklindedir.

b = - 2

a = 6 olduğundan,

m = - 6/-2

= 3 olur.


Örnek:

Dogru_denklemi3 



Denklemi 3x + 6y – 24 = 0 olan d doğrusu üzerindeki A noktasının eksenlere eksenlere uzaklığı eşittir.

Buna göre A noktasının koordinatlarının çarpımı kaçtır?


Çözüm:

A noktasının koordinatları (x, y) şeklindedir. A noktası x ve y eksenlerine eşit uzaklıkta ise y = -x tir. Zira A noktasının y eksenine uzaklığı x1 ise x eksenine uzaklığı da x1 olmak zorundadır.

x negatif tarafta, y pozitif taraftadır. x = x1 ise y = -x1 olmalıdır. Eğer A noktası 1. Bölgede olsaydı A noktasının koordinatları A(x, x) şeklinde olacaktır.

Buna göre A noktasının koordinatlarını A(x, -x) biçiminde de yazabiliriz.

Yani y yerine -x yazarak denklemi çözeceğiz.

3x + 6y – 24 = 0

3x – 6x – 24 = 0

-3x = 24

x = - 8

y = 8 olur.

Bu değerleri denklemde yerine koyarsak,

3.(-8) + 6.(8) – 24 = 0

-24 + 48 – 24 = 0

0 = 0

Denklem sağlanmaktadır. Bu test basitçe bulduğumuz (x, y) ikilisinin denklemi sağladığını ve doğru olduğunu belirtir.


Buna göre x.y = -48 dir.


Doğru denklemleri konusu devam ediyor. İki noktası bilinen doğru denklemleri aşağıdaki linkte


Doğru Denklemleri -2

Bir Doğru Parçasını Bölen Noktalar

Doğru Denklemleri -3


SANATSAL BİLGİ

28/07/2019

  • YORUM YAZ
  • ADI SOYADI(veya nick)
  • YORUM
COPYRIGHT© HER HAKKI SAKLIDIR
Sitede Yer Alan Bilgi Belge Ve Materyallerin İzinsiz olarak Kopyalanması ve Alıntılanması Yasaktır

SANATSAL BILGI