BİR DOĞRUNUN EĞİMİ

Bir doğrunun eğimi ne demektir? Doğrunun ve doğru parçasının eğiminin hesaplanması. Koordinat sisteminden yararlanarak eğim bulma. Eğim ve açı değerlerinin bulunması.

Eğim Nedir?

Bir doğrunun veya doğru parçasının yatay düzlem ile yaptığı açıya, o doğrunun ya da doğru parçasının eğimi denir. 

Bir çubuk yer ile 90 derece açı yapacak biçimde yani dik olarak sabitlenmişse bu çubuğun yer ile yaptığı açı 90° dir. Burada eğim, matematiksel olarak tanımsız olur. Çubuğun eğimi sorulursa diktir ya da 90 derecedir deriz.

Eğer çubuk yüzeye yatay olarak sabitlenmişse yer ile yaptığı açı 0 derece olur. Bu durumda eğimi 0’dır.

Bu iki açı dışında çubuğun yer ile yaptığı eğimi bulmak için çubuğun yer ile yaptığı açının tanjantı alınır.

Şekilde bir ABC üçgeni görülüyor. Bu üçgende CA doğru parçasının eğimini nasıl buluruz? Bu eğim yatay düzlemle ϑ açısı yapmaktadır. Bu açının tanjantı eğimi verir.

m = tanϑ

olduğundan dik üçgende eğim,

biçiminde yazılabilir, tanϑ nın verdiği değer budur.

Yatay ile yaptığı açının ölçüsü 90 ile 180 arasında olan doğruların eğimini bulmak için tan(180 – ϑ ) bağıntısı uygulanır.

Bir doğrunun eğimini ya 1. Bölgede ya da 2. Bölgede hesaplarız. 1. Bölgede eğim pozitif, 2. Bölgede negatif çıkar. Eğimin negatif çıkması doğrunun yönüyle ilgili bir durumdur. 60° ile 120° nin eğimleri, işaretleri dışında eşittir.

Herhangi bir açının eğimini bulmak için açıyı yazarak hesap makinesinde tan tuşuna basmanız yeterlidir. Karşılaştırma yapmanız bakımından birkaç açının eğimini yazalım.

15° nin eğimi: 0,27

30° nin eğimi: 0, 58 = √3/3

45° nin eğimi: 1

60° nin eğimi: 1,73 = √3

75° nin eğimi: 3,73

90° nin eğimi: tanımsız

120° nin eğimi: -1,73 = -√3

150° nin eğimi: -0,58 = -√3/3

180° nin eğimi: 0

Örnek

Şekildeki d doğrusunun eğimi kaçtır?

Çözüm:

Analitik düzlemden kolayca görülebileceği gibi doğru parçası orijinden geçmektedir. y = 2 için x = 4 olmaktadır. 

y = 4 için x = 8 olmaktadır.

Buna göre;

y/x = 2/4 = 4/8

y/x = 1/2

Eğim1 / 2 = 0,5 tir. %50 de diyebiliriz.

Ayrıca doğrunun  A(4, 2) ve B(8, 4) noktalarından geçtiğini gözönünde bulundurarak,

eşitliği ile de bulabiliriz.

Örnek:

Analitik düzlemde bir doğru parçası üzerinde alınan 2 noktanın koordinatları A(-2, 6) ve B(13,15) tir.

Bu doğru parçasının eğimi yüzde kaçtır?

Çözüm:

Eğimi veren denklem,

m = y/x şeklindedir. Verilen noktalardan y/x değerini bulabiliriz. Bir doğru üzerinde A(x1, y1) ve B(x2, y2) noktaları verilmişse eğim,

y₀ = y₂ – y₁

= 15 – 6

= 9 birim.

x₀ = x₂ – x₁

= 13 – (-2)

= 15 birim.

Bu iki uzunluğun oranı bize doğru parçasının eğimini verir.

m = y₀/x₀

= 9/15

= 3/5

= 0,6

= %60

Örnek:

Şekildeki d doğrusunun eğimini bulunuz.

Çözüm:

Doğru parçasının x ve y noktalarındaki kesişimlerine bakmak gerekir. Doğru parçası birim kare üzerinde gösterildiğinden, doğru parçasının kare köşelerindeki x ve y değerlerine bakılır.

1. 

d doğrusu üzerinde 2 adet eşit dik üçgen oluşturabiliriz.

üçgenlerden birinin y eksenine paralel kenarının uzunluğunu, x eksenine paralel kenarının uzunluğuna bölersek eğimi buluruz. Yukarıda kırmızı ok işaretleri ile gösterildiği gibi.

y/x = 2/3 olmaktadır.

2. 

Doğru parçasının birim karelerin köşelerinden geçtiği noktalara bakarız. Ardışık iki köşe noktasını işaretleriz. Yukarıdaki A ve B noktaları veya C ve A noktaları.

İşaretlediğimiz noktalarda y₀ = y₂ – y₁ ve x₀ = x₂ – x₁ denklemlerini kullanarak oluşturabileceğimiz üçgenlerin dik kenarlarını buluruz.

Örneğin CA parçasını ele alalım.

y₀ = 3 – 1 = 2

x₀ = 3 – 0 = 3

Örnek:

Şekildeki d doğrusunun eğimini ve yatay düzlemle yaptığı açıyı hesaplayınız.

Çözüm:

Doğru parçası A(-6, 3) ve B(1, -1) noktalarında birim karelerin köşesinden geçmektedir. Bu köşe noktalarından (x, y) ikililerini kolayca elde edebiliyoruz. Bu noktalardan yararlanarak bir üçgen oluşturabilir ve eğimi hesaplayabiliriz. Ya da iki nokta arasındaki uzaklıktan yararlanarak hesaplama yapabiliriz.

m = y/x = 4/7

m = 0,57

m = 4/7 . 100

= %57

Doğru parçasının yatay düzlemle yaptığı açıyı bulmak için eğimin arctanjantı alınır.

ϑ = tan^-1(0,57)

= 30°

Hesap makinenizde tan tuşu varsa Inv tuşu da vardır. 0,57 yazarak Inv tuşuna daha sonra tan^-1 tuşuna basarsanız bu değeri bulursunuz. Hesaplamayı bilgisayarın hesap makinesi ile de yapabilirsiniz.

Bir Doğrunun Denklemi

Bir Doğru Parçasını Bölen Noktalar

İki Doğrunun Birbirine Göre Konumu

SANATSAL BİLGİ

08/08/2019