İKİ DOĞRUNUN BİRBİRİNE GÖRE KONUMU

Analitik geometri dersi. Doğruların çakışık olması durumu, iki doğrunun paralel olması durumu, bir noktada kesişen doğrular, dik doğrular. Bu doğruların denklemlerinin katsayıları arasındaki ilişki.


d1 ve d2 doğruları verilmiş olsun.

d1 doğrusunun denklemi: a1x + b1y + c1 = 0

d2 doğrusunun denklemi: a2x + b2y + c2 = 0


Şeklinde olsun. Şimdi bu denklemler ile doğruların uzayda birbirlerine göre konumları arasındaki ilişkiyi inceleyelim.

1. Doğruların Çakışık Olması Durumu

Eğer denklemlerin katsayıları arasında,

a1 
= b1 
= c1
c2
b2
a2





Şeklinde bir ilişki varsa bu iki doğru çakışıktır.

Çakışık iki doğru için tek doğru diyebiliriz. Bu şekilde üst üste 100 tane doğru olsa bunların denklemi tektir ve bir tanesi hepsini temsil edebilir. Bir doğrunun denkleminin çözüm kümesi tüm doğruların denkleminin çözüm kümesi olur.

Örnek:

Uzayda d1 ve d2 doğruları veriliyor.

d1 doğrusunun denklemi 5x – by + 15

d2 doğrusunun denklemi 2x + 4y – c şeklindedir.

Bu iki doğru çakışık olduğuna göre b + c toplamı kaçtır?


Çözüm:

Çakışık doğruların karşılıklı katsayıları arasındaki oran eşittir.

x değişkenlerinin katsayılarının, y değişkenlerinin katsayılarının ve sabit terimlerin birbirine oranı eşittir.

5
= -b
= 15
-c
4
2





Buna göre,


 5/2 = 2,5

-b/4 = 2,5

b = - 10

15/-c = 2,5

c = -15/2,5

c = -6


b + c = -16 olur.


2. Doğruların Birbirine Paralel Olması Durumu

x ve y değişkenlerinin katsayıları arasındaki oranlar birbirine eşit fakat sabit terimlerin arasındaki oran farklı ise bu iki doğru birbirine paraleldir. Bunun matematiksel ifadesi,

a1 
= b1
 ≠ c1
c2
b2
a2




ise d1 // d2 dir.

şeklindedir.

d1 ve d2 doğruları paralel ise bu iki doğrunun denklemlerinin çözüm kümesi boş kümedir.


Örnek:

Uzayda d1 ve d2 doğruları veriliyor.

d1 doğrusunun denklemi 6x + 12 = 9y

d2 doğrusunun denklemi 2x – 8 = by şeklindedir.


Bu iki doğru paralel olduğuna göre b kaçtır?


Çözüm:

Paralel doğrularda x ve y değişkenlerinin karşılıklı katsayıları arasındaki oran eşittir ve bu oran sabit terimleri arasındaki orandan farklıdır.

d1 doğrusunun denklemi: 6x – 9y + 12 = 0

d2 doğrusunun denklemi: 2x – by – 8 = 0

Şeklindedir.

6/2 = 3 olduğundan,

-9/-b = 3 olmalıdır.

Buradan b = 3 olur.



3. Bir Noktada Kesişen Doğrular

Karşılıklı apsisleri ve ordinatları arasındaki oranlar birbirine eşit olmayan doğrular bir noktada kesişirler.

a1 
b1  ise d1 ∩ d2 = {A} 
b2
a2




A noktası, d1 ve d2 doğrularının denklemlerinin ortak çözümüyle gerçekleştirilir.(iki bilinmeyenli denklem sistemi)


Örnek:

d1 = 7x – 6 = 12y

d2 = 3x – 9 = 3y


Bu iki doğrunun kesişim noktasını bulunuz.


Çözüm:

d1 doğrusunun denklemi: 7x – 12y – 6 = 0

d2 doğrusunun denklemi: 3x – 3y – 9 = 0


Bu iki denklemi çözerek x ve y noktalarını bulalım.

7x – 12y – 6 = 0

3x – 3y – 9 = 0


2. denklemi -4 ile çarpalım.

7x – 12y – 6 = 0

-12x +12y + 36 = 0


İki denklemi taraf tarafa toplayalım.

-5x + 30 = 0

-5x = -30

x = 6


Şimdi bu değeri 1. Denklemde yerine koyarak y değerini bulalım.

7x – 12y – 6 = 0

42 – 12y – 6 = 0

12y = 36

y = 3


Buna göre denklemi çözen x ve y değerleri x = 6 ve y = 3 tür. Bu doğrular A(6, 3 ) noktasında kesişirler.


Şimdi bu ikili her iki denklemi çözmeli.

d1 doğrusu için x ve y değerlerini yerine koyalım.

7x – 12y – 6 = 0

7.6 – 12.3 – 6 = 0

 42 – 36 – 36 = 0

0 = 0


d2 doğrusunu da kontrol edelim.

3x – 3y – 9 = 0

3.6 – 3.3 – 9 = 0

18 – 9 – 9 = 0

0 = 0

d2 doğrusunun denklemini de çözmektedir. A(6, 3) noktasının koordinatlarının her iki denklemi de çözmesi her iki doğrunun da A noktasından geçtiğini göstermektedir. Bu durum doğruların bu noktada kesiştiğini gösterir.


4. Birbirine Dik Doğrular

İki doğrunun eğimlerinin çarpımı -1 ise bu iki doğru birbirine diktir. Buna diklik şartı denilmektedir.

m1.m2 = -1 → d1 ┴ d2


m1.m2 = -1 ise,

m1 = -1/m2

m2 = -1/m1

olur.


Örnek:

Uzayda birbirine dik d1 ve d2 doğruları veriliyor.

d1 doğrusunun denklemi 6x – 12y + 8 olduğuna göre d2 doğrusunun eğimi nedir?


Çözüm:

Denklemi ax + by + c şeklinde olan bir doğrunun eğimi;

m = -a/b dir.

Buna göre d1 doğrusunun eğimi,

m1 = -6/-12

= 0,5

d2 doğrusunun eğimi m2 olsun.

m1.m2 = -1

0,5 . m2 = -1

m2 = -2 olmalıdır.


Bir Doğrunun Denklemi

Bir Doğrunun Eğimi

Bir Noktanın Bir Doğruya Uzaklığı


SANATSAL BİLGİ

10/08/2019

  • YORUM YAZ
  • ADI SOYADI(veya nick)
  • YORUM
COPYRIGHT© HER HAKKI SAKLIDIR
Sitede Yer Alan Bilgi Belge Ve Materyallerin İzinsiz olarak Kopyalanması ve Alıntılanması Yasaktır

SANATSAL BILGI