Özel Ders

KENAR KENAR KENAR BENZERLİĞİ

9. sınıflar ve üniversiteye hazırlık geometri dersi konusu. Üçgenlerde K.K.K benzerliği. Karşılıklı üç kenarı orantılı olan üçgenlerin benzerliği. Konu anlatımı ve örnekler.

K.K.K Benzerliği

İki üçgenin karşılıklı tüm kenarları arasındaki oran eşit ise bu üçgenler benzer üçgenlerdir.

Kenar_kenar_kenar1

Şekilde ABC ve DEF birer üçgendir. Bu üçgende,

	\|AB\|	= k
	\|DE\|

	\|AC\|	= k
	\|DF\|

	\|BC\|	= k
	\|EF\|

ise ABC ve DEF üçgenleri benzerdir.

Benzerlik karşılıklı kenarları orantılı ve karşılıklı açıları eş olan üçgenler benzerdir şeklinde tanımlandığından karşılıklı açıları da eş olur.

m(A) = m(D)

m(B) = m(E)

m(C) = m(F) olur.

Örnek:

Kenar_kenar_kenar2

Şekilde iki adet üçgen görülmektedir. Bu üçgenler arasında kenar – kenar – kenar benzerliği vardır. Buna göre DE kenarının uzunluğunu hesaplayınız.

Çözüm:

Üçgenlere dikkat edersek A ile E açısının geniş açılar olduğunu fark ederiz. Benzer üçgenlerde tüm açılar eşit ve kenarlar orantılı olduğundan büyük üçgen ile küçük üçgeni üst üste getirmek için A köşesi aşağı gelmelidir. A köşesini aşağıya getirirsek BC kenarı BD kenarı ile AC kenarı BE kenarı ile AB kenarı DE kenarı ile eşleşir. Bu durumda BED üçgeni ile CAB üçgenleri benzer olur.

BED ile CAB üçgenlerinin orantılı kenarlarını bulmak istersek, BED ve CAB üçgenlerinin ilk iki harfinin oluşturduğu kenarlar karşılıklı kenarlardır.

BE ile CA kenarları orantılıdır.

|BE|

=	4
	8

|CA|

= 1/ 2

Sonra BED ve CAB üçgenlerinden 1. ve 3. Harflerin oluşturduğu kenarları alalım.

BD ile CB kenarları karşılıklı kenarlardır.

|BD|

=	8
	16

|BC|

= 1/2

Şimdi her üçgeni temsil eden harflerden 2 ve 3. Harflerin oluşturduğu kenarları alalım.

ED kenarı ile AB kenarı orantılıdır.

|ED|

=	1	olmalıdır.
	2

|AB|

|ED|

=	1
	2

|ED| = 9 br olur.

Örnek:

Kenar_kenar_kenar3

Şekildeki üçgende GD//BC olduğuna göre GE uzunluğu kaç birimdir?

Çözüm:

GD // BC olduğundan AGD ile ABC üçgenleri benzerdir. Bundan yararlanarak x’i bulabiliriz.

=	2x
	2x + 12

4x + 24 = 12x

8x = 24

x = 3 br

EGD ile BEF üçgenlerini ele alalım.

GD // FC olduğundan GDE ile EFB açıları eşittir. Aynı zamanda GED ile FEB açıları da eşittir. Bu durumda 3. Açıları da eşit olur. tüm açıları eşit olan üçgenlerin karşılıklı kenarları arasında sabit bir oran vardır.