ÖZEL DİK ÜÇGENLER
Geometri dersi, üçgenler konusu. İkizkenar dik üçgenler, 30 – 60 – 90 üçgeni, 3 – 4 – 5 üçgeni, 5 – 12 – 13 üçgeni, 8 – 15 – 17 üçgeni. Konu anlatımı ve örnekler.
A. İkizkenar Dik Üçgenler
Bir açısı 45° olan dik üçgenler "ikizkenar dik üçgen" olarak adlandırılır.
1.
İkizkenar dik üçgenlerde dik kenarların uzunluğu eşittir. Yukarıdaki şekilde,
|AB| = |AC| dir.
2.
İkizkenar dik üçgende hipotenüse ait kenarortay, aynı zamanda açıortay ve yüksekliktir. Başka bir deyişle ikizkenar dik üçgenin kenarortay, açıortay ve yükseklikleri eşittir.
Yukarıdaki şekilde,
m(CAD) = m(DAC)
3.
İkizkenar dik üçgenlerde hipotenüsün uzunluğu, dik kenarlardan birinin uzunluğunun √2 katıdır.
Örnek:
ABC bir üçgen,
|BD| = |DC|,
[AD] ┴ [BD],
|AD| = 3√2 br
Olduğuna göre, |AB| + |AC| toplamı kaç birimdir?
Çözüm:
[AD], hem yükseklik hem kenarortay ise ABC üçgeni, ikizkenar dik üçgendir.
Dolayısıyla, |AB| = |AC| olur.
Dik üçgenlerde hipotenüse ait kenarortay, hipotenüs uzunluğunun yarısına eşittir.
|AD| = 3√2 ise |BC| = 2.3√2 = 6√2 olur.
Bir dik üçgende hipotenüs uzunluğu dik kenarlardan birinin uzunluğunun √2 katıdır.
|AB|.√2 = 6√2
|AB| = 6 br olur.
|AC| = |AB| olduğundan, |AC| = 6 br olur.
|AB| + |AC| = 12 br
B. 30 – 60 – 90 Üçgeni
İç açıları 30°, 60° ve 90° olan üçgenlere 30 – 60 – 90 üçgeni denir. Bu üçgenlerin kenarları arasında daima belli bir oran vardır.
30 – 60 – 90 üçgeninde, 30° nin karşısındaki kenarın uzunluğu hipotenüs uzunluğunun yarısına, 60° nin karşısındaki kenarın uzunluğu hipotenüs uzunluğunun yarısının √3 katına eşittir.
Örnek:
Yukarıdaki şekilde |AB| uzunluğu 10 br olduğuna göre, |BC| + |AC| toplamı kaç birimdir?
Çözüm:
30° nin karşısındaki kenar, hipotenüsün yarısına, 60° nin karşısındaki kenar, hipotenüsün yarısının √3 katına eşittir.
|AC| = 10√3 br,
|BC| = 20 br
|AC| + |BC| = 20 + 10√3
= 10(√3 + 2) birimdir.
C. 3 – 4 – 5 Üçgeni
Kenar uzunlukları 3, 4 ve 5 sayılarının katları olan üçgenler dik üçgenlerdir.
5 – 12 – 13 Üçgeni
Kenar uzunlukları 5, 12 ve 13 sayılarının katları olan tüm üçgenler dik üçgenlerdir.
D. 8 – 15 – 17 Üçgeni
Kenar uzunlukları 8 – 15 ve 17 sayılarının katları olan üçgenler dik üçgenlerdir.
E. 7 – 24 – 25 Üçgeni Üçgeni
Kenar uzunlukları 7, 24 ve 25 sayılarının katları olan üçgenler dik üçgenlerdir.
Yukarıdaki üçgenleri bilmek hesaplamalarda hız ve kolaylık sağlar. Üçgen türleri ve özelliklerini kullanarak istenen uzunluğu çabuk bir şekilde bulabiliriz.
Örnek:
Yukarıdaki üçgende x kaçtır?
Çözüm:
Üçgenin hipotenüsü 5 ve diğer iki kenar uzunluğu arasındaki fark 1 olduğuna göre, bu üçgen 3 – 4 – 5 üçgenidir. Bu üçgende x ancak 3 olabilir.
Örnek:
Yukarıdaki üçgende |AB| kaç birimdir.
Çözüm:
Hipotenüs uzunluğu 13 ve dik kenarlardan biri 5 birim olduğuna göre, bu üçgen 5 – 12 – 13 üçgenidir.
|AB| = 12 birimdir.
Bu uzunluk Pisagor teoreminden de hesaplanabilir ancak bu şekilde daha hızlı ve kolay bir şekilde hesaplanmaktadır.
Örnek:
ABC bir üçgen,
[AD] ┴ [BC]
|DB| = 8 br,
|AB| = 10 br,
Olduğuna göre |BC| kaç birimdir?
Çözüm:
BC kenarına çizilen yükseklik ABC üçgenini iki üçgene ayırmıştır. ADB üçgeni 6 – 8 – 10 üçgenidir (3 – 4 – 5 in katları) . Buna göre |AD| = 6 br’dir.
ADC üçgeni için Pisagor bağıntısı,
36 + y2 = x2
x2 – y2 = 36 (1)
ABC üçgeni için Pisagor bağıntısı,
x2 + 100 = (8 + y)2
x2 + 100 = 64 + 16y + y2
x2 – y2 – 16y = - 36
x2 – y2 = 36 idi.
36 – 16y = - 36
16y = 72
y = 4,5 br
|BC| = 8 + 4,5 = 12,5 br
Eğer buradan |AC| = x uzunluğunu da bulmak istersek,
x2 – y2 = 36
x2 – 20,25 = 36
x2 = 56,25
x = 7,5 br
|AC| = 7,5 br dir.
Dik Üçgenler Konu Anlatımı
SANATSAL BİLGİ
15/08/2018