ÖZEL DİK ÜÇGENLER

Geometri dersi, üçgenler konusu. İkizkenar dik üçgenler, 30 – 60 – 90 üçgeni, 3 – 4 – 5 üçgeni, 5 – 12 – 13 üçgeni, 8 – 15 – 17 üçgeni. Konu anlatımı ve örnekler.


A. İkizkenar Dik Üçgenler

Bir açısı 45° olan dik üçgenler "ikizkenar dik üçgen" olarak adlandırılır.

Ozeldikucgen_k1i1


1. 

İkizkenar dik üçgenlerde dik kenarların uzunluğu eşittir. Yukarıdaki şekilde,

|AB| = |AC| dir.

2.

İkizkenar dik üçgende hipotenüse ait kenarortay, aynı zamanda açıortay ve yüksekliktir. Başka bir deyişle ikizkenar dik üçgenin kenarortay, açıortay ve yükseklikleri eşittir.

Yukarıdaki şekilde,

m(CAD) = m(DAC)


3.

İkizkenar dik üçgenlerde hipotenüsün uzunluğu, dik kenarlardan birinin uzunluğunun √2 katıdır.

Örnek:

Ozeldikucgen_k1i2


ABC bir üçgen,

|BD| = |DC|,

[AD] ┴ [BD],

|AD| = 3√2 br

Olduğuna göre, |AB| + |AC| toplamı kaç birimdir?


Çözüm:

[AD], hem yükseklik hem kenarortay ise ABC üçgeni, ikizkenar dik üçgendir.

Dolayısıyla, |AB| = |AC| olur.

Dik üçgenlerde hipotenüse ait kenarortay, hipotenüs uzunluğunun yarısına eşittir.

|AD| = 3√2 ise |BC| = 2.3√2 = 6√2 olur.


Bir dik üçgende hipotenüs uzunluğu dik kenarlardan birinin uzunluğunun √2 katıdır.

|AB|.√2 = 6√2

|AB| = 6 br olur.

|AC| = |AB| olduğundan, |AC| = 6 br olur.

|AB| + |AC| = 12 br


B. 30 – 60 – 90 Üçgeni

İç açıları 30°, 60° ve 90° olan üçgenlere 30 – 60 – 90 üçgeni denir. Bu üçgenlerin kenarları arasında daima belli bir oran vardır.

Ozeldikucgen_k1i3


30 – 60 – 90 üçgeninde, 30° nin karşısındaki kenarın uzunluğu hipotenüs uzunluğunun yarısına, 60° nin karşısındaki kenarın uzunluğu hipotenüs uzunluğunun yarısının √3 katına eşittir.


Örnek:

Ozeldikucgen_k1i4b


Yukarıdaki şekilde |AB| uzunluğu 10 br olduğuna göre, |BC| + |AC| toplamı kaç birimdir?


Çözüm:


30° nin karşısındaki kenar, hipotenüsün yarısına, 60° nin karşısındaki kenar, hipotenüsün yarısının √3 katına eşittir.


|AC| = 10√3 br, 

|BC| =  20 br

|AC| + |BC| = 20 + 10√3

= 10(√3 + 2) birimdir.


C. 3 – 4 – 5 Üçgeni

Kenar uzunlukları 3, 4 ve 5 sayılarının katları olan üçgenler dik üçgenlerdir.

Ozeldikucgen_k1i6


5 – 12 – 13 Üçgeni

Kenar uzunlukları 5, 12 ve 13 sayılarının katları olan tüm üçgenler dik üçgenlerdir.

Ozeldikucgen_k1i7b


D. 8 – 15 – 17 Üçgeni

Kenar uzunlukları 8 – 15 ve 17 sayılarının katları olan üçgenler dik üçgenlerdir.

Ozeldikucgen_k1i8b



E. 7 – 24 – 25 Üçgeni Üçgeni

Kenar uzunlukları 7, 24 ve 25 sayılarının katları olan üçgenler dik üçgenlerdir.

Ozeldikucgen_k1i9


Yukarıdaki üçgenleri bilmek hesaplamalarda hız ve kolaylık sağlar. Üçgen türleri ve özelliklerini kullanarak istenen uzunluğu çabuk bir şekilde bulabiliriz. 

Örnek:

Ozeldikucgen_k1i10


Yukarıdaki üçgende x kaçtır?


Çözüm:

Üçgenin hipotenüsü 5 ve diğer iki kenar uzunluğu arasındaki fark 1 olduğuna göre, bu üçgen 3 – 4 – 5 üçgenidir. Bu üçgende x ancak 3 olabilir.


Örnek:

Ozeldikucgen_k1i11


Yukarıdaki üçgende |AB| kaç birimdir.


Çözüm:

Hipotenüs uzunluğu 13 ve dik kenarlardan biri 5 birim olduğuna göre, bu üçgen 5 – 12 – 13 üçgenidir.

|AB| = 12 birimdir.

Bu uzunluk Pisagor teoreminden de hesaplanabilir ancak bu şekilde daha hızlı ve kolay bir şekilde hesaplanmaktadır.


Örnek:

Ozeldikucgen_k1i12b


ABC bir üçgen,

[AD] ┴ [BC]

|DB| = 8 br,

|AB| = 10 br,

Olduğuna göre |BC| kaç birimdir?


Çözüm:

Ozeldikucgen_k1i13b


BC kenarına çizilen yükseklik ABC üçgenini iki üçgene ayırmıştır. ADB üçgeni 6 – 8 – 10 üçgenidir (3 – 4 – 5 in katları) . Buna göre |AD| = 6 br’dir.

ADC üçgeni için Pisagor bağıntısı,

36 + y2 = x2

x2 – y2 = 36     (1)

ABC üçgeni için Pisagor bağıntısı,

x2 + 100 = (8 + y)2

x2 + 100 = 64 + 16y + y2

x2 – y2 – 16y = - 36

x2 – y2 = 36 idi.

36 – 16y = - 36

16y = 72

y = 4,5 br

|BC| = 8 + 4,5 = 12,5 br

Eğer buradan |AC| = x uzunluğunu da bulmak istersek,

x2 – y2 = 36

x2 – 20,25 = 36

x2 = 56,25

x = 7,5 br


|AC| = 7,5 br dir.



Dik Üçgenler Konu Anlatımı



SANATSAL BİLGİ

15/08/2018

  • YORUM YAZ
  • ADI SOYADI(veya nick)
  • YORUM
COPYRIGHT© HER HAKKI SAKLIDIR
Sitede Yer Alan Bilgi Belge Ve Materyallerin İzinsiz olarak Kopyalanması ve Alıntılanması Yasaktır

SANATSAL BILGI