ÜÇGENDE AÇIORTAY

9. Sınıflar geometri dersi, üçgenler konusu. Üçgende iç ve dış açıortaylar. İç ve dış açıortay teoremi. İç ve dış açıortayların özellikleri. Konu anlatımı ve çözümlü örnekler.

Bir açıyı iki eşit açıya bölen ışına "açıortay" adı verilir.

Ucgen_aciortayK1I1

Yukarıdaki şekilde AD ışını BAC açısının açıortayıdır.

m(BAD) = m(DAC) dir.

Açıortay üzerindeki bir noktadan açının kollarına çizilen dikmelerin uzunlukları eşittir.

Ucgen_aciortayK1I2

Yukarıdaki şekilde |EF| = |EG| dir.

Üçgenlerin İç Açıortaylarının Özellikleri

1. Bir Üçgenin İç Teğet Çemberinin Merkezi

Bir üçgenin iç açılarının açıortayları bir noktada kesişirler. Bu nokta üçgenin iç teğet çemberinin merkezidir.

Ucgen_aciortayK1I3

2. İç Açıortay Teoremi

Ucgen_aciortayK1I4

Bir üçgende açıortayın böldüğü kenar ile diğer kenarlar arasında aşağıdaki ilişki vardır.

=	x
	y

=	b
	y

Bu özelliğe iç açıortay teoremi denilmektedir.

3. Açıortay Uzunluğu

Açıortay Uzunluğu aşağıdaki ifade ile bulunabilir.

n_A = √b.c – xy

n_A , yukarıdaki şekilde [AD] uzunluğudur.

Diğer açıortaylar da benzer bağıntıyla bulunabilir.

4. Kesişen İki Açıortay Arasındaki Açı

Ucgen_aciortayK1I5

|BD| ve |DC| açıortay olmak üzere,

m(BDC) = 90 +	m(BAC)
	2

5. Bir üçgende bir kenara çizilen doğru parçası hem kenarortay, hem de yükseklik ise bu doğru parçası aynı zamanda açıortaydır. Bu durumda bu üçgen ikizkenar veya eşkenar üçgendir.

6. Bir üçgenin iki dış açıortayının kesiştiği noktaya diğer köşeden çizilen doğru parçası, bu köşenin iç açıortayıdır.

Bu özelliği aşağıdaki gibi genelleştirebiliriz.

Bir üçgende herhangi iki açıortayın kesiştiği noktaya diğer köşeden çizilen doğru parçası, o köşenin açıortayıdır.

Ucgen_aciortayK1I6

Ayrıca,

m(BDC) = 90 .	m(BAC)
	2

7. Dış Açıortay Teoremi

Ucgen_aciortayK1I7

Şekilde AB doğru parçası BC doğru parçasının uzantısını D noktasında kesmektedir.

ABC bir üçgen ve [AD] bu üçgenin A köşesinin dış açıortayı olmak üzere,

|CD|

=	\|AC\|
	\|AB\|

|BD|

Bu eşitliğe dış açıortay teoremi denilir.

Örnek:

Ucgen_aciortayK1I8

ABC bir üçgen,

[AD] açıortay,

|AB| = 9 cm,

|AC| = 12 cm

|BC| = 10 cm

Olduğuna göre |BD| kaç cm’dir?

Çözüm:

Üçgende iç açıortay teoreminden,

|AB|

=	\|AC\|
	\|DC\|

|BD|

BD = m dersek, DC = 9 – m olur.

=	12
	9 - m

81 – 9m = 12m

21m = 81

7m = 27

m =	27
	7

Örnek:

Ucgen_aciortayK1I9

ABC bir üçgen,

[AD]┴[BC]

|BD| = 5 br

|AC| = 8 br

Verilenlere göre ABC üçgeninin çevresi kaç br’dir.

Çözüm:

Bir üçgende açıortay aynı zamanda yükseklik ise bu açıortay aynı zamanda kenarortaydır.

Bu durumda |DC| = 5 br ve |AB| = 8 br olur.

Üçgenin çevresi ise,

8 + 8 +10 = 26 br dir.

Örnek:

Ucgen_aciortayK1I10

ABC bir üçgen,

|AB| ┴ |AC|

|AD| = 5 cm

|BC| = 16 cm

Olduğuna göre, A(BDC) kaç cm² dir?

Çözüm:

Ucgen_aciortayK1I11

Bir açıortayın herhangi bir noktasından üçgenin kenarlarına çizilen dikmelerin uzunlukları eşittir.

|DA|, DC açıortayının |AC| kenarına çizilen bir dikmesidir diyebiliriz. Bu durumda D noktasından |BC| kenarına çizilen dikmenin uzunluğu da 5 cm olur.

Buna göre,