Özel Ders

ÜÇGENLERDE ALAN TEST I ÇÖZÜMLERİ

9. sınıflar ve tyt yks geometri dersi, üçgenler konusu. Üçgenlerde alan bağıntısı. Üçgenlerde alan hesaplamaları ile ilgili çözümlü testin çözümleri.

Çözüm – 1

ucgen_alan_t1c1

BDC üçgeninde BD kenarının yüksekliği [AC] dir. BDC üçgeninin alanı,

A(BDC) = 2x .	8
	2

A(ADC) = 16 olduğundan,

16 = 2x .	8
	2

x = 2 br

AB kenarının uzunluğu, 2x + x = 3x birimdir.

|AB| = 3.2 = 6 br

ABC dik üçgeni 6 – 8 –10 üçgenidir. |BC| uzunluğu Pisagor bağıntısından da bulunabilir.

Doğru cevap B seçeneğidir.

Çözüm – 2

ucgen_alan_t1c2

ABC üçgeninde iç açıortay teoremini uygulayalım.

=	12
	\|AD\|

|BD|

|BD| = 8k

|AD| = 12 k olur.

BDC üçgeninin BD kenarı ile ADC üçgeninin AD kenarına ait yükseklikler eşittir.

A(BDC) =	8k.h
	2

A(ADC) =	12k.h
	2

	8k.h	= 24
	2

hk= 6 br

A(ADC) =	h.12k
	2

A(ADC) = 36 br²

Doğru cevap E seçeneği.

Çözüm – 3

ucgen_alan_t1c3

A(ABD) =	\|AB\| . 4
	2

30 =	\|AB\| . 4
	2

|AB| = 15 br

[AB], hem ABD hem de BDC üçgeninin yüksekliğidir.

A(BDC) =	15.6
	2

A(BDC) = 45 br²

Doğru cevap C seçeneği.

Çözüm – 4

ucgen_alan_t1c4

|ED| = x olsun, bu durumda |BD| = 10 + x olur.

ABC ve AEC üçgenlerinin alanlarını bulalım.

A(ABC) =	(10 + x) . 18
	2

A(ABC) = 90 + 9x

A(AEC) =	x. 18
	2

A(AEC) = 9x

A(ABCE) = A(ABC) – A(AEC)

A(ABCE) = 90 + 9x – 9x

A(ABCE) = 90 br²

Doğru cevap A seçeneği.

Çözüm – 5

ucgen_alan_t1c5

Dik üçgende Öklit bağıntısını uygulayalım.

|AD|² = |BD| . |DC|

h² = 4.9

h² = 36

h = 6 br

A(ABC) =	6.13
	2

A(ABC) = 39 br²

Doğru cevap C seçeneği.

Çözüm – 6

ucgen_alan_t1c6

ABD, ADE ve AEC üçgenlerinin tabanları aynı doğru üzerindedir. Bu üçgenlerin tabanlarına ait yükseklikler eşittir ve [AC] dır.

A(ADE) = 18 br² ise,

18 =	\|AC\| . x
	2

|AC| . x = 36 dır.

ABD üçgeninin alanını bulalım.

A(ABD) =	3x.\|AC\|
	2

A(ABD) =	3.36
	2

A(ABD) = 54 br²

AEC üçgeninin alanı,

A(AEC) =	2x . \|AC\|
	2

A(AEC) =	2.36
	2

A(AEC) = 36 br²

A(ABD) + A(AEC) = 54 + 36

= 90 br²

Doğru cevap D seçeneği.

Çözüm – 7

ucgen_alan_t1c7

ABC üçgeninde BC kenarının dikmesini çizelim.

Elde ettiğimiz AHC üçgeni 30 – 60 – 90 üçgenidir 30° nin karşısındaki kenar, 90° nin karşısındaki kenarın yarısına eşittir. Buna göre |AH| = 9 br olur.

A(ADC) =	\|AH\| . \|DC\|
	2

A(ADC) =	9.6
	2

A(ADC) = 27 br²

Doğru cevap E seçeneği.

Çözüm – 8

ucgen_alan_t1c8

Üçgenin köşelerinden, ağırlık merkezinden geçecek şekilde çizilen doğru parçaları kenarortaydır. Buna göre,

|BF| = |FA|

|AE| = |EC|

[FE] // [BC] ise [FE] orta tabandır.

Ağırlık merkezi ve orta taban [AD] yi şekildeki gibi 3k:k:2k şeklinde parçalara böler.

FPG ile APF üçgenlerinin yüksekliği eşit olduğundan, alanları oranı, tabanları oranına eşittir. Dolayısıyla,

=	k
	3

A(APF)

A(APF) = 12 br²

Şimdi GFA ile GFB üçgenlerinin alanlarını bulalım. Bu üçgenlerin BF ve FA tabanlarına ait yükseklikler eşittir.

|BF| = |FA| olduğundan alanları da eşittir.

A(GFA) = 12 + 4 = 16 br² olduğundan,

A(BFG) = 16 br² olur.

A(ABG) = 16 + 4 + 12 = 32 br² olur. Şimdi BGA ile BGD üçgenlerini ele alırsak, bu üçgenlerin de yüksekliği eşittir. Alanları oranı tabanları oranına eşit olacaktır.