ÜÇGENLERDE BENZERLİKLER

9. sınıflar geometri dersi. Üçgenlerde benzerlik teoremi. İki üçgenin benzer olması için gereken asgari koşullar. Temel orantı teoremi. Konu anlatımı ve çözümlü örnekler.


Benzer Üçgenler

İki üçgenin karşılıklı açıları eşit ve karşılıklı kenarları orantılı ise bu üçgenler benzerdir.

Benzer üçgenlerin karşılıklı kenarları arasındaki orana "benzerlik oranı" denir ve bu oran "k" ile gösterilir. Üçgenlerin benzer olduğu aralarına "~" işareti konularak gösterilir.

Ucgen_benzerlik1


Şekildeki ABC ve DEF üçgenleri benzer üçgenler olup ABC~DEF dir.

Benzerlik oranı,

|AB|/|DE| = 20/10 = 2 dir.

Bu oran üçgenin AC ve DF ile BC ve EF kenarları arasında da vardır.

k = 1 olması durumunda üçgenler eştir.

Eş olan her üçgen aynı zamanda benzerdir.

Örnek:

Ucgen_benzerlik2


ABC ~ CDE

|AB| = 8 br

|DC| = 6 br

|CE| = 3 br

Olduğuna göre |AC| kaç birimdir?


Çözüm:

ABC ~ CDE ise 

|AB| 
= |AC| dir.
|EC|
|DC|




Aynı şekilde,


|AB|
= |BC| dir.
|DE|
|DC|




Buna göre,

8 
= |AC|
3
6




|AC| = 4 br olarak bulunur.


Temel Orantı Teoremi

Bir üçgenin üzerinden herhangi bir kenarına köşeden geçmeyen bir doğru paralel olarak geçerse bu doğru üçgenin diğer iki kenarını bu doğrunun kestiği noktalardan orantılı parçalara ayırır. Dolayısıyla doğrunun üçgen içinde oluşturduğu yeni üçgen ile asıl üçgen benzer olur.

Ucgen_benzerlik3


Şekildeki üçgende DE//BC olsun. Bu durumda,

|AD| 
= |AE|
|EC|
|DB|





|AD| 
= |AE|
|AC|
|AB|




Ayrıca B ile D açısı, C ile E açısı yöndeştir. İç açıları eşit ve ikişer kenarı orantılı olan üçgenlerin 3. Kenarı da orantılı olur.


|AD| 
= |DE|
|BC|
|AB|




Örnek:

Ucgen_benzerlik4


Şekildeki üçgende,

DE//AC

|BD| = x

|DA| = x + 2

|BE| = 3 br

|EC| = 5 br

Olduğuna göre |AB| kaç birimdir?


Çözüm:

DE//AC ise BAC ile BDE üçgenleri benzerdir.

x 
= 3
5
x + 2




5x = 3x + 6

2x = 6

x = 3 br olarak bulunur.

AB uzunluğu 2x + 2 br olduğuna göre,

|AB| = 8 br olarak bulunur.


Örnek: 

Ucgen_benzerlik5


ABC bir üçgen,

DG // BC

|AE| = 7 br

|EF| = 3 br

|FC| = 4 br

|BC| = 16 br

Olduğuna göre |DG| kaç birimdir?


Çözüm:

Ucgen_benzerlik6


DG doğru parçası BC doğru parçasına paralel ve |AE| = |EC| = 7 br olduğundan,

|AE| 
= |DE|
|BC|
|AC|





7 
= |DE|
16
14




|DE| = 8 br dir.

Şimdi |EG| uzunluğunu bulalım.

İç ters açılardan GBC = BGD dir.

BFC = EFG dir.

BFC üçgeni ile EFG üçgenlerinin ikişer açısı eşit olduğundan 3. Açıları da eşittir.

Bu durumda bu iki üçgen benzerdir.

Benzer üçgenlerde eş açıların karşılarındaki kenarlar orantılıdır.


|FC| 
= |BC|
|EG|
|EF| 





4 
= 16
|EG|
3




|EG| = 12 br

Buna göre DG uzunluğu 8 + 12 = 20 birimdir.






SANATSAL BİLGİ

25/11/2019

  • YORUM YAZ
  • ADI SOYADI(veya nick)
  • YORUM
COPYRIGHT© HER HAKKI SAKLIDIR
Sitede Yer Alan Bilgi Belge Ve Materyallerin İzinsiz olarak Kopyalanması ve Alıntılanması Yasaktır

SANATSAL BILGI