ÜÇGENLERDE KENAR BAĞINTISI

9. Sınıflar ve üniversiteye hazırlık geometri dersi konusu. Üçgenlerde kenarlar arasındaki bağıntılar. Üçgen eşitsizlikleri. Konu anlatımı ve çözümlü örnekler.



Bir üçgende herhangi bir kenar uzunluğu diğer iki kenarın uzunlukları toplamından büyük, farkının mutlak değerinden küçüktür.


Üçgen Eşitsizliği

Ucgen_kenar1


Bir ABC üçgeni ile ilgili olarak aşağıda verilen eşitsizliklere "üçgen eşitsizliği" denir.

|a – c| < b < a + c

|a – b| < c < a + b

|b – c| < a < b + c



Eğer m(A) > 90° olursa kenarlar arasındaki ilişki aşağıdaki gibi olur.

|b – c| < a < b + c    (1)

a2 > b2 + c2             (2)

Bir açının 90° ve daha büyük olması diğer açıların o açıdan daha küçük olacağı anlamına gelir. Bu durumda yukarıdaki 2. eşitlik de gözönünde bulundurulur.

Eğer m(A) < 90° olursa bu kez aşağıdaki iki bağıntı kullanılır.

|b – c| < a < b + c   (1)

a2 < b2 + c2            (2)


Dolayısıyla, üçgenin kenarları arasındaki bağıntlarla ilgili soru sorulduğunda eğer bir açının ölçüsü de verilmişse yukarıdaki bağıntılardan uygun olanı seçilir.

Örnek:

Ucgen_kenar2


Yukarıda bir ABC üçgeni ve bu üçgenin kenar uzunlukları verilmiştir.

Bu verilere göre, x’in değer aralığını bulunuz.


Çözüm:

Soruyu üçgen eşitsizliklerinden yararlanarak çözebiliriz.

1.

|3x + 4 – 2x – 3| < 7 < 3x + 4 + 2x + 3

|x + 1| < 7 < 5x + 7

|x + 1| < 7     (1)

7 < 5x + 7      (2)

1. maddeden, mutlak değer eşitsizliği.

-7 < x + 1 < 7

-6 < x < 6

2. maddeden,

7 < 5x + 7

0 < 5x 

0 < x

2 maddeyi birleştirirsek,

0 < x < 6 olur.


Örnek:

Ucgen_kenar3



|BD| = 5 cm

|BA| = 6 cm

|AC| = 12 cm

|DC| = 9 cm


Olduğuna göre, |BC| kaç farklı tamsayı değeri alabilir?


Çözüm:

ABC üçgeninden,

|12 – 6| < |BC| < 12 + 6


6 < |BC| < 18



BDC üçgeninden,

|9– 5| < |BC| < 14

4 < |BC| <14


İki eşitsizliği birleştirirsek,

6 < |BC| < 14 olmalıdır.

Buna göre BC uzunluğu,

7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 değerlerini alabilir.


Örnek:

Ucgen_kenar4


Yukarıdaki ABC üçgeninin çevre uzunluğunun en küçük tamsayı değeri kaç olabilir?


Çözüm:

|AB| ve |AC| uzunluklarının toplamı 12 cm’den büyük olmalıdır.

12’den büyük en küçük tamsayı değeri 13’tür.

Buna göre üçgenin çevre uzunluğunun en küçük tamsayı değeri 13 + 12 = 25 cm olur.


Örnek:

Ucgen_kenar5


m(A) > 90°olduğuna göre x kaç farklı tamsayı değeri alabilir?


Çözüm:

Üçgen eşitsizliğine göre, 

4 < x < 20     (1)

x2 > 82 + 122

x2 > 208

x > √208


√208 = 14,42 olduğundan, (1) ve (2) eşitliklerini birleştirirsek,

14,42 < x < 20 olur.

Buradan x’in alabileceği tamsayı değerlerinin 15, 16, 17, 18, 19 olduğu anlaşılır.




SANATSAL BİLGİ

30/08/2018

  • YORUM YAZ
  • ADI SOYADI(veya nick)
  • YORUM

COPYRIGHT© HER HAKKI SAKLIDIR
Sitede Yer Alan Bilgi Belge Ve Materyallerin İzinsiz olarak Kopyalanması ve Alıntılanması Yasaktır

SANATSAL BILGI