ÜÇGENLERDE KENARORTAYLAR

9. sınıflar ve üniversiteye hazırlık geometri dersi, üçgenler konusu. Üçgenlerde kenarortaylar. Kenarortayların özellikleri. Kenarortay teoremleri. Konu anlatımı ve örnekler.

Kenarortay 

Bir üçgenin herhangi bir kenarının orta noktasını o kenarın karşısındaki köşe ile birleştiren doğru parçasına o kenara ait kenarortay denir.

Herhangi bir köşeden çizilen kenarortaya o köşenin adı verilir. Örneğin A köşesinden çizilen kenarortay Va olarak adlandırılır.

Bir üçgendeki tüm kenarortaylar bir noktada kesişirler. Bu nokta üçgenin ağırlık merkezidir.

Üçgenlerde Kenarortay Özellikleri

1. Kenarortaylar Bir Kenarı 2 Eş Parçaya Böler

Kenarortaylar bulundukları kenarı iki eş parçaya böler. Kenarortayların kesişim noktası, üçgenin ağırlık merkezidir.

Şekildeki ABC üçgeninde, 

|BD| = |DC|

|BF| = |FA|

|CE| = |EA| dır.

G, üçgenin ağırlık merkezidir.

2. Ağırlık Merkezinin Böldüğü Kenarortaylar

Ağırlık merkezinin böldüğü kenarortayların bölünen parçaları arasında, 1’e 2 şeklinde bir oran vardır.

Yukarıdaki şekilde görülen üçgen için,

|GC| = 2|FG|

|BG| = 2|GE|

|AG| = 2|GD|

İlişkisi vardır.

3. Bir kenarortayın uzunluğu

Şekildeki üçgende, a, b, c ifadeleri kenar uzunluklarını göstermek üzere,

(Va)²    = b² + c² – a²/2

(V_b)² = a² + c² – b²/2

(V_c)² = b² + a² – c²/2

4. Dik Üçgende Hipotenüse Ait Kenarortay Uzunluğu

Bir üçgende kenarortay uzunluğu, hipotenüs uzunluğunun yarısıdır.

5. Dik Üçgende kenarortaylar arasındaki ilişki.

Yukarıdaki üçgende,

5(V_a)² = (V_b)² + (V_c)²

6. Orta Tabanın Böldüğü Kenarortay

Yukarıdaki şekilde;

[FE] // [BC]

 |DG| = 2k

|GP| = k

|PA| = 3k

Örnek:

ABC bir üçgen,

[AD] kenarortay,

G üçgenin ağırlık merkezi,

A(BDG) = 6 cm²

Olduğuna göre, A(ABC) kaç cm² dir?

Çözüm:

G üçgenin ağırlık merkezi ise DG ile GA arasında,

|AG| = 2|GD| ilişkisi vardır. Yani |GD| = k dersek, |GA| = 2k olur.

ABD üçgeninde B köşesinden AD doğru parçasına çizilen yükseklik, hem BGD üçgeninin hem de BAG üçgeninin yüksekliği olur. Yani bu iki üçgenin yükseklikleri eşittir. Kenarlar arasına 1’e 2 oran vardır. B köşesinden [AD] ye çizilen yükseklik h olsun.

h.k = 12 olur.

A(ABG) = 12 cm²

Buna göre A(BAD) = 18 cm² dir.

Kenarortay üçgenin alanını iki eşit parçaya bölmektedir.

Bu nedenle A(ACD) = 18 cm² olur.

A(ABC) = 18 + 18

= 36 cm² dir.

Örnek:

ABC bir üçgen,

|GD| = 6 br

[FE] // [DC]

G, ABC üçgeninin ağırlık merkezi 

Olduğuna göre, |FG| kaç birimdir?

Çözüm:

[FE], [BC] ye paralel ve [AC] kenarını orta noktadan kesiyorsa [FE] ABC üçgeninin orta tabanıdır.

G noktası ağırlık merkezi ise G noktasından geçen AD doğru parçası kenarortaydır.

Bu durumda,

|DG| = 2k

|GF| = k

|FA| = 3k olur.

Buna göre DG = 2k = 6 ise,

|GF| = k = 3 br olur.

Üçgenlerde Açıortay

SANATSAL BİLGİ

15/09/2018