ÜÇGENLERDE KENARORTAYLAR

9. sınıflar ve üniversiteye hazırlık geometri dersi, üçgenler konusu. Üçgenlerde kenarortaylar. Kenarortayların özellikleri. Kenarortay teoremleri. Konu anlatımı ve örnekler.


Kenarortay 

Bir üçgenin herhangi bir kenarının orta noktasını o kenarın karşısındaki köşe ile birleştiren doğru parçasına o kenara ait kenarortay denir.


Herhangi bir köşeden çizilen kenarortaya o köşenin adı verilir. Örneğin A köşesinden çizilen kenarortay Va olarak adlandırılır.

Bir üçgendeki tüm kenarortaylar bir noktada kesişirler. Bu nokta üçgenin ağırlık merkezidir.


Üçgenlerde Kenarortay Özellikleri

Ucgenkenarortay_k1r1


1. Kenarortaylar Bir Kenarı 2 Eş Parçaya Böler

Kenarortaylar bulundukları kenarı iki eş parçaya böler. Kenarortayların kesişim noktası, üçgenin ağırlık merkezidir.

Şekildeki ABC üçgeninde, 

|BD| = |DC|

|BF| = |FA|

|CE| = |EA| dır.

G, üçgenin ağırlık merkezidir.

2. Ağırlık Merkezinin Böldüğü Kenarortaylar

Ağırlık merkezinin böldüğü kenarortayların bölünen parçaları arasında, 1’e 2 şeklinde bir oran vardır.

Yukarıdaki şekilde görülen üçgen için,

|GC| = 2|FG|

|BG| = 2|GE|

|AG| = 2|GD|

İlişkisi vardır.


3. Bir kenarortayın uzunluğu

Ucgenkenarortay_k1r2


Şekildeki üçgende, a, b, c ifadeleri kenar uzunluklarını göstermek üzere,

(Va)2    = b2 + c2 – a2/2

(Vb)2 = a2 + c2 – b2/2

(Vc)2 = b2 + a2 – c2/2


4. Dik Üçgende Hipotenüse Ait Kenarortay Uzunluğu

Bir üçgende kenarortay uzunluğu, hipotenüs uzunluğunun yarısıdır.

Ucgenkenarortay_k1r3


5. Dik Üçgende kenarortaylar arasındaki ilişki.

Ucgenkenarortay_k1r4


Yukarıdaki üçgende,

5(Va)2 = (Vb)2 + (Vc)2


6. Orta Tabanın Böldüğü Kenarortay

Ucgenkenarortay_k1r5


Yukarıdaki şekilde;

[FE] // [BC]

 |DG| = 2k

|GP| = k

|PA| = 3k


Örnek:

Ucgenkenarortay_k1r6


ABC bir üçgen,

[AD] kenarortay,

G üçgenin ağırlık merkezi,

A(BDG) = 6 cm2

Olduğuna göre, A(ABC) kaç cm2 dir?


Çözüm:

Ucgenkenarortay_k1r7


G üçgenin ağırlık merkezi ise DG ile GA arasında,

|AG| = 2|GD| ilişkisi vardır. Yani |GD| = k dersek, |GA| = 2k olur.

ABD üçgeninde B köşesinden AD doğru parçasına çizilen yükseklik, hem BGD üçgeninin hem de BAG üçgeninin yüksekliği olur. Yani bu iki üçgenin yükseklikleri eşittir. Kenarlar arasına 1’e 2 oran vardır. B köşesinden [AD] ye çizilen yükseklik h olsun.

A(BDG) = h.k = 6
2




h.k = 12 olur.

A(ABG) =h.2k
2




=12.2
2




A(ABG) = 12 cm2

Buna göre A(BAD) = 18 cm2 dir.

Kenarortay üçgenin alanını iki eşit parçaya bölmektedir.

Bu nedenle A(ACD) = 18 cm2 olur.

A(ABC) = 18 + 18

= 36 cm2 dir.


Örnek:

Ucgenkenarortay_k1r8


ABC bir üçgen,

|GD| = 6 br

[FE] // [DC]

G, ABC üçgeninin ağırlık merkezi 

Olduğuna göre, |FG| kaç birimdir?


Çözüm:

[FE], [BC] ye paralel ve [AC] kenarını orta noktadan kesiyorsa [FE] ABC üçgeninin orta tabanıdır.

G noktası ağırlık merkezi ise G noktasından geçen AD doğru parçası kenarortaydır.

Bu durumda,

|DG| = 2k

|GF| = k

|FA| = 3k olur.


Buna göre DG = 2k = 6 ise,

|GF| = k = 3 br olur.



Üçgenlerde Açıortay



SANATSAL BİLGİ

15/09/2018

  • YORUM YAZ
  • ADI SOYADI(veya nick)
  • YORUM

COPYRIGHT© HER HAKKI SAKLIDIR
Sitede Yer Alan Bilgi Belge Ve Materyallerin İzinsiz olarak Kopyalanması ve Alıntılanması Yasaktır

SANATSAL BILGI