AÇIK ÖNERMELER

9. sınıflar ve ygs matematik dersi. Açık önermeler konusu. Bir değişkenli açık önermeler. İki değişkenli açık önermeler. Konu anlatımı ve örnekler.

İçerisinde en az bir değişken bulunduran önermelere "açık önerme" denilir. 

Önermeler p, q, s gibi bir harfle adlandırılıyorlardı. Açık önermeler, önermeyi simgeleyen harfin önüne parantez içerisinde değişken değeri konularak gösterilir.

Bir Değişkenli Açık Önerme

Bir p(x) önermesinde x yerine a yazılınca önerme doğrulanıyorsa;

p(a) ≡ 1 olur. Aksi durumda p(a) ≡ 0 olur.

Örneğin:

x bir doğal sayıyı göstermek üzere x + 1 = 5 eşitliğini bir p önermesi ile verelim.

p(x): "x bir doğal sayı, x+1 =5"

Bu önermenin bir tane doğruluk değeri vardır, o da 4’tür. Bu durumda p(4) değeri önermenin doğruluk değerini 1 yapar.

p(4):"4 bir doğal sayı, 4 + 1 = 5"

Bu önermenin doğruluk değeri 1’dir.

Bunun dışındaki tüm x değerleri önermeyi yanlış önerme yapar.

p(3): "3 bir doğal sayı, 3 + 1 = 5"

Önermesi yanlış bir önermedir.

p(x): "x bir doğal sayı, x+1 =5"

ise;

p(4) ≡1

p(3) ≡0

Bir açık önerme birden fazla x değeri için doğru olabilir. Açık önermenin doğruluk değerini 1 yapan x değerlerine önermenin doğruluk kümesi denir. 

Örnek:

p(x) = "x bir doğal sayı, x² + 1 < 18"

Önermesinin doğruluk kümesini bulunuz.

Çözüm:

p(0) ="0 bir doğal sayı ve 0² + 1 <18"

p(1) ="1 bir doğal sayı ve 1² + 1 <18"

P(2) = "2 bir doğal sayı ve 2² + 1 < 18"

P(3) = "3 bir doğal sayı ve 3² + 1 < 18"

p(4) = "4 bir doğal sayı ve 4² + 1 < 18"

p(5) = "5 bir doğal sayı ve 5² + 1 < 18"

p(x) açık önermesi için;

p(0), p(1), p(2), p(3), p(4) önermelerinin doğruluk değeri 1’dir.

p(5) önermesinin doğruluk değeri 0’dır.

p(x) önermesinin doğruluk kümesi;

D={0, 1, 2, 3, 4}

Örnek:

p(x) = "x bir tamsayı, x² + 5 = 30"

Önermesi veriliyor.

A) p(1), p(4), p(5), p(-6) , p(-5) önermelerinin doğruluk değerlerini bulunuz.

B) önermenin doğruluk kümesini oluşturunuz.

Çözüm:

A)

Bir p(x) önermesinin bir a değeri için doğru olup olmayacağı, p(x) önermesinde x yerine a yazılarak belirlenir. p(a) önermesi doru ise p(a) önermesinin doğruluk değeri 1’dir.

P(1) = "1 bir tamsayı, 1² + 5 = 30"

1² + 5 ≠ 30 olduğundan

P(1) ≡ 0

P(4) = "4 bir tamsayı, 4² + 5 = 30"

4² + 5 ≠ 30 olduğundan,

P(4) ≡ 0

P(5) = "5 bir tamsayı, 5² + 5 = 30"

5² + 5 = 30 olduğundan,

P(5) ≡ 1

P(-6) = "-6 bir tamsayı, (-6)² + 5 = 30"

(-6)² + 5 ≠ 30 olduğundan,

P(-6) ≡ 0

P(-5) = "-5 bir tamsayı, (-5)² + 5 = 30"

(-5)² + 5 = 30 olduğundan,

P(-5) ≡ 1

B) 

x² + 5 ifadesini 30 yapan iki tam sayı değeri vardır, bu sayılar ( - 5) ve 5’tir. Dolayısıyla p(x) önermesi sadece bu değerler ile doğru olur.

D = {5, - 5 }

İki Değişkenli Açık Önerme

İki değişkenli açık önermede x ve y gibi iki değişken bulunur. x ve y’nin her ikisinin de aldığı değere göre önerme doğrulanıyorsa p(x, y) önermesinin doğruluk değeri 1 olur, diğer durumlarda p(x, y) önermesinin doğruluk değeri 0’dır.

Örnek:

P(x,y) = "x ve y tam sayılar, x² + y² = 25"

Önermesi veriliyor.

A)

P(1,2), p(2,3), p(4,3), p(-4,3)

Önermelerinin doğruluk değerlerini bulunuz.

B)

P(x, y) önermesinin doğruluk kümesini oluşturunuz.

Çözüm:

P(1,2) = "1 ve 2 tam sayılar, 1² + 2² = 25"

1²+2² = 3 ≠ 25 olduğundan

P(1,2) ≡ 0

P(2,3) = "2 ve 3 tam sayılar, 2² + 3² = 25"

2² + 3² = 13 ≠ 25 olduğundan,

P(2,3) ≡ 0

P(4, 3) ="4 ve 3 tam sayılar,4² + 3²= 25"

4² + 3² = 25 olduğundan,

P(4, 3) ≡ 1

P(-4, 3) = "-4 ve 3 tam sayılar, (-4)² + 3² = 25"

(-4)² + 3² = 25 olduğundan,

P( - 4,3) ≡ 1 dir.

B)

P(x, y) iki değişkenli açık önermesi x = 4, y = 3 ve x = -4, y = 3, x = 0 ve y = 5, x = 0 ve y = - 5,

x = 5 ve y = 0, x = - 5 ve y = 0 değerlerinde doğru olmaktadır. Diğer durumlarda önermenin doğruluk değeri 0’dır.

D = {(4,3), (-4, 3), (0, 5), (0, -5), (-5, 0), (5, 0)}

Her ve Bazı Niceleyicileri

Önermeler Konu Anlatım

SANATSAL BİLGİ

25/09/2017