ALT KÜME KAVRAMI
9. Sınıflar ve ygs matematik konusu. Alt kümeler ve özellikleri, alt küme hesaplamaları. n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt kümeleri. Konu anlatımı ve çözümlü örnekler.
Alt Küme
Bir kümenin içerdiği bütün elemanlar başka bir kümede de bulunuyorsa, bu kümeler arasında bir alt küme ve kapsama ilişkisi vardır.
A kümesinin tüm elemanları B kümesinin de elemanı ise A kümesi B kümesinin bir alt kümesi olur. Aynı zamanda her küme kendisinin bir alt kümesidir.
Örnek:
A = {Ayva, Nar, Üzüm, Armut}
B ={ Ayva, Üzüm}
Yukarıdaki iki kümeden B kümesi, A kümesinin bir alt kümesidir. Bu ilişki aşağıdaki şekilde gösterilir.
A⊃ B (A kapsar B) veya B ⊂ A (B alt küme A)
Alt Küme Özellikleri
1. Her küme kendisinin bir alt kümesidir.
2. Boş küme bütün kümelerin alt kümesidir.
3. A kümesi B kümesini, B kümesi C kümesini kapsıyorsa, A kümesi C kümesini kapsar. Buna geçişme özelliği denir.
A ⊃ B ve B ⊃ C ise A ⊃ C
4. Bir kümenin alt küme sayısı 2’nin kuvvetleri ile bulunur. 2’nin kuvveti olarak alt küme sayısı bulunmak istenen kümenin eleman sayısı yazılır.
A kümesinin eleman sayısı s(A) ile gösteriliyordu. A kümesinin alt küme sayısını veren formül;
2s(A) dır.
s(A) = n ise, A kümesinin alt küme sayısı 2n dir.
5 elemanlı bir kümenin alt küme sayısı 25 = 32 olur.
Örnek:
A = {0, 1, 2 , 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} kümesi veriliyor.
Bu kümenin alt küme sayısı kaçtır?
Çözüm:
A kümesinin eleman sayısı;
S(A) = 10 dur.
A kümesinin alt küme sayısı ise;
210 = 1024 tür.
Örnek:
A = { x| 0 ≤ x < 6 ,x ɛ N} kümesi veriliyor.
A kümesinin eleman sayısı kaçtır.
Çözüm:
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
s(A) = 6
Alt küme sayısı = 26 = 64
Örnek:
A = {x | 10 < x ≤ 265, x = 6k ve k = N} kümesi veriliyor.
A kümesinin alt küme sayısı kaçtır?
Çözüm:
Terim Sayısı = | Son terim – ilk terim | + 1 |
artış miktarı |
Son terim = 264
İlk terim = 12
Artış miktarı = 6
Terim Sayısı = | 264 – 43 | + 1 = 43 |
6 |
O halde alt küme sayısı
243 tür.
5. n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt kümelerinin sayısı n’nin r’li kombinasyonlarının sayısına eşittir ve

Formülüyle bulunur.
6. Bir kümenin öz alt küme sayısı, kendisi hariç tüm alt kümelerinin sayısına eşittir.
n elemanlı bir kümenin öz alt küme sayısı;
2n – 1 dir.
6 elemanlı bir kümenin öz alt kümelerinin sayısı
26 – 1 = 64 – 1 = 63 tür.
Örnek:
A = {10, 11, 12, 13, 14, 15} kümesi veriliyor.
A kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde “12” elemanı bulunmaz?
Çözüm:
A kümesi 6 elemanlıdır. n elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısı 2n dir. Yukarıdaki soruda A kümesinden “12” elemanını atarsak geriye kalan elemanların oluşturduğu kümenin alt kümelerinde “12” elemanı bulunmayacaktır.
25 = 32 olur.
Örnek:
A = {c, d, b, x, n, k, s} kümesi veriliyor.
A kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde x ve n elemanları birlikte bulunur.
Çözüm
A kümesinin eleman sayısı 7 dir. x ve n elemanlarını çıkarırsak geriye 5 eleman kalır. x ve n elemanları kalan 5 elemanla birlikte alt kümeler oluşturur.
Bu beş elemanla oluşturulabilecek alt küme sayısı;
25 = 32 dir. Bunların her birinde x ve n elemanı vardır.
Örnek:
A = {k, l, n, m, n, p, r} kümesi veriliyor.
Bu kümenin alt kümelerinin kaç tanesinde m veya r elemanları birlikte bulunur.
Çözüm:
A kümesinin tüm alt kümelerinden m ve r nin bulunmadığı alt kümeleri çıkarırsak, geriye m ve n nin bulunmadığı alt kümeler kalır. Bu yöntem üzerinden;
m ve r’nin her ikisinin de bulunmadığı alt küme sayısı;
25 = 32 dir.
Yani A kümesinin alt kümelerinin 32 sinde m ve r elemanları bulunmaz. A kümesinin geri kalan alt kümelerinde ise m ve r elemanlarından biri veya her ikisi de bulunur.
A’nın tüm alt kümelerinin sayısı = 27 = 128 dir.
128 – 32 = 96
A’nın alt kümelerinin 96 tanesinde m ve r elemanlarından biri veya her ikisi bulunur.
Örnek:
10 elemanlı bir kümenin 6 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır?
Çözüm:
= 5.3.2.7 = 210
Örnek:
6 elemanlı bir kümenin en çok 3 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır?
Çözüm:
En çok 3 elemanlı alt kümelerinin sayısı; 0 elemanlı (boş küme), 1 elemanlı, 2 elemanlı ve 3 elemanlı alt kümelerinin sayısına eşittir.
C(6, 0) + C(6, 1) + C(6, 2) + C(6, 3)
= 1 + 6 + 15 + 20
= 42
Örnek:
6 elemanlı bir kümenin en az 4 elemanlı alt kümelerinin sayısını bulunuz.
Çözüm:
En az 4 elemanlı alt kümelerinin sayısı; 4 elemanlı, 5 elemanlı ve 6 elemanlı alt kümelerinin sayısına eşittir.
C(6, 4) + C(6, 5) + C(6, 6)
= 15 + 6 + 1
= 22
Önceki soruda da 3 elemana kadar olan alt kümelerinin sayısı 42 bulunmuştu. Bu soruda bulduğumuz sonuçla birlikte toplamları 64 eder ki buda 6 elemanlı bir kümenin alt küme sayısına eşittir.
6 sayısının 0 dan başlayıp 6 ya kadar devam eden permutasyonlarının sayısının 1 ile başladığına 20 ye kadar arttıktan sonra, aynı sayıları tekrar ederek azaldığına dikkat ediniz. Bu da binom açılımına uygundur.
BİRLEŞİM KÜMELERİ
KÜME ÇEŞİTLERİ
SANATSAL BİLGİ
21/12/2016