ALT KÜME KAVRAMI

9. Sınıflar ve ygs matematik konusu. Alt kümeler ve özellikleri, alt küme hesaplamaları. n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt kümeleri. Konu anlatımı ve çözümlü örnekler.


Alt Küme

Bir kümenin içerdiği bütün elemanlar başka bir kümede de bulunuyorsa, bu kümeler arasında bir alt küme ve kapsama ilişkisi vardır.

A kümesinin tüm elemanları B kümesinin de elemanı ise A kümesi B kümesinin bir alt kümesi olur. Aynı zamanda her küme kendisinin bir alt kümesidir.

Örnek:

A = {Ayva, Nar, Üzüm, Armut}

B ={ Ayva, Üzüm}

Yukarıdaki iki kümeden B kümesi, A kümesinin bir alt kümesidir. Bu ilişki aşağıdaki şekilde gösterilir.

A⊃ B (A kapsar B) veya B ⊂ A (B alt küme A)


Alt Küme Özellikleri

1. Her küme kendisinin bir alt kümesidir. 

2. Boş küme bütün kümelerin alt kümesidir.

3. A kümesi B kümesini, B kümesi C kümesini kapsıyorsa, A kümesi C kümesini kapsar. Buna geçişme özelliği denir.

A ⊃ B ve B ⊃ C ise A ⊃ C 

4. Bir kümenin alt küme sayısı 2’nin kuvvetleri ile bulunur. 2’nin kuvveti olarak alt küme sayısı bulunmak istenen kümenin eleman sayısı yazılır.

A kümesinin eleman sayısı s(A) ile gösteriliyordu. A kümesinin alt küme sayısını veren formül;

2s(A)  dır.

s(A) = n ise, A kümesinin alt küme sayısı 2n  dir.

5 elemanlı bir kümenin alt küme sayısı 25 = 32 olur.


Örnek:

A = {0, 1, 2 , 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} kümesi veriliyor.

Bu kümenin alt küme sayısı kaçtır?

Çözüm:

A kümesinin eleman sayısı;

S(A) = 10 dur. 

A kümesinin alt küme sayısı ise;

210 = 1024 tür.


Örnek:

A = { x| 0 ≤ x < 6 ,x ɛ N} kümesi veriliyor.

A kümesinin eleman sayısı kaçtır.


Çözüm:

A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}

s(A) = 6

Alt küme sayısı = 26  = 64

Örnek:


A = {x | 10 < x ≤ 265, x = 6k ve k = N} kümesi veriliyor.


A kümesinin alt küme sayısı kaçtır?


Çözüm:

Terim Sayısı =Son terim – ilk terim + 1
artış miktarı




Son terim = 264

İlk terim = 12

Artış miktarı = 6

Terim Sayısı =264 – 43  + 1 = 43
6



O halde alt küme sayısı 

243 tür.


5. n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt kümelerinin sayısı n’nin r’li kombinasyonlarının sayısına eşittir ve 

altkume


Formülüyle bulunur.

6. Bir kümenin öz alt küme sayısı, kendisi hariç tüm alt kümelerinin sayısına eşittir.

n elemanlı bir kümenin öz alt küme sayısı;

2n  – 1 dir.

6 elemanlı bir kümenin öz alt kümelerinin sayısı

26 – 1 = 64 – 1 = 63 tür.


Örnek:

A = {10, 11, 12, 13, 14, 15} kümesi veriliyor.

A kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde “12” elemanı bulunmaz?


Çözüm:

A kümesi 6 elemanlıdır. n elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısı 2n dir. Yukarıdaki soruda A kümesinden “12” elemanını atarsak geriye kalan elemanların oluşturduğu kümenin alt kümelerinde “12” elemanı bulunmayacaktır.

25  = 32 olur.


Örnek:

A = {c, d, b, x, n, k, s} kümesi veriliyor.

A kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde x ve n elemanları birlikte bulunur.


Çözüm

 A kümesinin eleman sayısı 7 dir. x ve n elemanlarını çıkarırsak geriye 5 eleman kalır. x ve n elemanları kalan 5 elemanla birlikte alt kümeler oluşturur.

Bu beş elemanla oluşturulabilecek alt küme sayısı;

25 = 32 dir. Bunların her birinde x ve n elemanı vardır.


Örnek:

A = {k, l, n, m, n, p, r} kümesi veriliyor.

Bu kümenin alt kümelerinin kaç tanesinde m veya r elemanları birlikte bulunur.


Çözüm:

A kümesinin tüm alt kümelerinden m ve r nin bulunmadığı alt kümeleri çıkarırsak, geriye m ve n nin bulunmadığı alt kümeler kalır. Bu yöntem üzerinden;

m ve r’nin her ikisinin de bulunmadığı alt küme sayısı;

25 = 32 dir.

Yani A kümesinin alt kümelerinin 32 sinde m ve r elemanları bulunmaz. A kümesinin geri kalan alt kümelerinde ise m ve r elemanlarından biri veya her ikisi de bulunur.

A’nın tüm alt kümelerinin sayısı = 27  = 128 dir.

128 – 32 = 96

A’nın alt kümelerinin 96 tanesinde m ve r elemanlarından biri veya her ikisi bulunur.


Örnek:

10 elemanlı bir kümenin 6 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır?


Çözüm:

C(10, 6) = 10!
6!(10-6)!



= 10.9.8.7.6!
6!.4!



= 10.9.8.7
4.3.2



= 5.3.2.7 = 210



Örnek:

6 elemanlı bir kümenin en çok 3 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır?


Çözüm:

En çok 3 elemanlı alt kümelerinin sayısı; 0 elemanlı (boş küme), 1 elemanlı, 2 elemanlı ve 3 elemanlı alt kümelerinin sayısına eşittir.

C(6, 0) + C(6, 1) + C(6, 2) + C(6, 3)

= 6! 
+ 6!
+ 6!
+ 6!
3! . 3!
2!.4!
1.5!
6!




= 1 + 6 + 15 + 20

= 42


Örnek:

6 elemanlı bir kümenin en az 4 elemanlı alt kümelerinin sayısını bulunuz.


Çözüm:

En az 4 elemanlı alt kümelerinin sayısı; 4 elemanlı, 5 elemanlı ve 6 elemanlı alt kümelerinin sayısına eşittir.

C(6, 4) + C(6, 5) + C(6, 6)

= 6!
+6! 
+6!
6!
5! . 1!
4!.2!




= 15 + 6 + 1

= 22

Önceki soruda da 3 elemana kadar olan alt kümelerinin sayısı 42 bulunmuştu. Bu soruda bulduğumuz sonuçla birlikte toplamları 64 eder ki buda 6 elemanlı bir kümenin alt küme sayısına eşittir.

6 sayısının 0 dan başlayıp 6 ya kadar devam eden permutasyonlarının sayısının 1 ile başladığına 20 ye kadar arttıktan sonra, aynı sayıları tekrar ederek azaldığına dikkat ediniz. Bu da binom açılımına uygundur.



BİRLEŞİM KÜMELERİ

KÜME ÇEŞİTLERİ




SANATSAL BİLGİ

21/12/2016

  • YORUM YAZ
  • ADI SOYADI(veya nick)
  • YORUM

YÜZ YÜZE ÖZEL DERS

Evinizde veya kendi belirleyeceğiniz bir yerde özel öğretmenlerden yüz yüze Matematik, Bilgisayar, Fizik, Kimya, Biyoloji ve Elektrik dersleri alabilirsiniz İletişim Formu nu doldurarak bizimle iletişime geçebilirsiniz

YÜZ YÜZE ÖZEL DERS

Evinizde veya kendi belirleyeceğiniz bir yerde özel öğretmenlerden yüz yüze Matematik, Bilgisayar, Fizik, Kimya, Biyoloji ve Elektrik dersleri alabilirsiniz İletişim Formu nu doldurarak bizimle iletişime geçebilirsiniz

  • YGS - LYS KONULARI
  • 8. SINIF
  • 7. SINIF
  • 6. SINIF
  • BİLGİSAYAR - ELEKTRİK
  • GENEL MATEMATİK
  • BİRİM ÇEVİRİCİLER
COPYRIGHT© HER HAKKI SAKLIDIR
Sitede Yer Alan Bilgi Belge Ve Materyallerin İzinsiz olarak Kopyalanması ve Alıntılanması Yasaktır

SANATSAL BILGI