ALT KÜME KAVRAMI

9. Sınıflar ve ygs matematik konusu. Alt kümeler ve özellikleri, alt küme hesaplamaları. n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt kümeleri. Konu anlatımı ve çözümlü örnekler.

Alt Küme

Bir kümenin içerdiği bütün elemanlar başka bir kümede de bulunuyorsa, bu kümeler arasında bir alt küme ve kapsama ilişkisi vardır.

A kümesinin tüm elemanları B kümesinin de elemanı ise A kümesi B kümesinin bir alt kümesi olur. Aynı zamanda her küme kendisinin bir alt kümesidir.

Örnek:

A = {Ayva, Nar, Üzüm, Armut}

B ={ Ayva, Üzüm}

Yukarıdaki iki kümeden B kümesi, A kümesinin bir alt kümesidir. Bu ilişki aşağıdaki şekilde gösterilir.

A⊃ B (A kapsar B) veya B ⊂ A (B alt küme A)

Alt Küme Özellikleri

1. Her küme kendisinin bir alt kümesidir. 

2. Boş küme bütün kümelerin alt kümesidir.

3. A kümesi B kümesini, B kümesi C kümesini kapsıyorsa, A kümesi C kümesini kapsar. Buna geçişme özelliği denir.

A ⊃ B ve B ⊃ C ise A ⊃ C 

4. Bir kümenin alt küme sayısı 2’nin kuvvetleri ile bulunur. 2’nin kuvveti olarak alt küme sayısı bulunmak istenen kümenin eleman sayısı yazılır.

A kümesinin eleman sayısı s(A) ile gösteriliyordu. A kümesinin alt küme sayısını veren formül;

2^s(A)  dır.

s(A) = n ise, A kümesinin alt küme sayısı 2ⁿ  dir.

5 elemanlı bir kümenin alt küme sayısı 2⁵ = 32 olur.

Örnek:

A = {0, 1, 2 , 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} kümesi veriliyor.

Bu kümenin alt küme sayısı kaçtır?

Çözüm:

A kümesinin eleman sayısı;

S(A) = 10 dur. 

A kümesinin alt küme sayısı ise;

2¹⁰ = 1024 tür.

Örnek:

A = { x| 0 ≤ x < 6 ,x ɛ N} kümesi veriliyor.

A kümesinin eleman sayısı kaçtır.

Çözüm:

A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}

s(A) = 6

Alt küme sayısı = 2⁶  = 64

Örnek:

A = {x | 10 < x ≤ 265, x = 6k ve k = N} kümesi veriliyor.

A kümesinin alt küme sayısı kaçtır?

Çözüm:

Son terim = 264

İlk terim = 12

Artış miktarı = 6

O halde alt küme sayısı 

2⁴³ tür.

5. n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt kümelerinin sayısı n’nin r’li kombinasyonlarının sayısına eşittir ve 

Formülüyle bulunur.

6. Bir kümenin öz alt küme sayısı, kendisi hariç tüm alt kümelerinin sayısına eşittir.

n elemanlı bir kümenin öz alt küme sayısı;

2ⁿ  – 1 dir.

6 elemanlı bir kümenin öz alt kümelerinin sayısı

2⁶ – 1 = 64 – 1 = 63 tür.

Örnek:

A = {10, 11, 12, 13, 14, 15} kümesi veriliyor.

A kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde “12” elemanı bulunmaz?

Çözüm:

A kümesi 6 elemanlıdır. n elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısı 2ⁿ dir. Yukarıdaki soruda A kümesinden “12” elemanını atarsak geriye kalan elemanların oluşturduğu kümenin alt kümelerinde “12” elemanı bulunmayacaktır.

2⁵  = 32 olur.

Örnek:

A = {c, d, b, x, n, k, s} kümesi veriliyor.

A kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde x ve n elemanları birlikte bulunur.

Çözüm

 A kümesinin eleman sayısı 7 dir. x ve n elemanlarını çıkarırsak geriye 5 eleman kalır. x ve n elemanları kalan 5 elemanla birlikte alt kümeler oluşturur.

Bu beş elemanla oluşturulabilecek alt küme sayısı;

2⁵ = 32 dir. Bunların her birinde x ve n elemanı vardır.

Örnek:

A = {k, l, n, m, n, p, r} kümesi veriliyor.

Bu kümenin alt kümelerinin kaç tanesinde m veya r elemanları birlikte bulunur.

Çözüm:

A kümesinin tüm alt kümelerinden m ve r nin bulunmadığı alt kümeleri çıkarırsak, geriye m ve n nin bulunmadığı alt kümeler kalır. Bu yöntem üzerinden;

m ve r’nin her ikisinin de bulunmadığı alt küme sayısı;

2⁵ = 32 dir.

Yani A kümesinin alt kümelerinin 32 sinde m ve r elemanları bulunmaz. A kümesinin geri kalan alt kümelerinde ise m ve r elemanlarından biri veya her ikisi de bulunur.

A’nın tüm alt kümelerinin sayısı = 2⁷  = 128 dir.

128 – 32 = 96

A’nın alt kümelerinin 96 tanesinde m ve r elemanlarından biri veya her ikisi bulunur.

Örnek:

10 elemanlı bir kümenin 6 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır?

Çözüm:

= 5.3.2.7 = 210

Örnek:

6 elemanlı bir kümenin en çok 3 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır?

Çözüm:

En çok 3 elemanlı alt kümelerinin sayısı; 0 elemanlı (boş küme), 1 elemanlı, 2 elemanlı ve 3 elemanlı alt kümelerinin sayısına eşittir.

C(6, 0) + C(6, 1) + C(6, 2) + C(6, 3)

= 1 + 6 + 15 + 20

= 42

Örnek:

6 elemanlı bir kümenin en az 4 elemanlı alt kümelerinin sayısını bulunuz.

Çözüm:

En az 4 elemanlı alt kümelerinin sayısı; 4 elemanlı, 5 elemanlı ve 6 elemanlı alt kümelerinin sayısına eşittir.

C(6, 4) + C(6, 5) + C(6, 6)

= 15 + 6 + 1

= 22

Önceki soruda da 3 elemana kadar olan alt kümelerinin sayısı 42 bulunmuştu. Bu soruda bulduğumuz sonuçla birlikte toplamları 64 eder ki buda 6 elemanlı bir kümenin alt küme sayısına eşittir.

6 sayısının 0 dan başlayıp 6 ya kadar devam eden permutasyonlarının sayısının 1 ile başladığına 20 ye kadar arttıktan sonra, aynı sayıları tekrar ederek azaldığına dikkat ediniz. Bu da binom açılımına uygundur.

BİRLEŞİM KÜMELERİ

KÜME ÇEŞİTLERİ

SANATSAL BİLGİ

21/12/2016