ARİTMETİK DİZİLER
11. Sınıflar matematik diziler konusu. Aritmetik diziler, aritmetik dizilerin genel terimleri. Aritmetik dizilerin n. ci terimini bulmak. Aritmetik dizilerin sonlu toplamları.
Dizi Kavramı
f: N+ → R ve f(n) genel terim olmak üzere, f(n) ifadesine gerçek sayı dizisi veya dizi denir.
Doğal sayılardan Reel sayılar kümesine tanımlanan her bir fonksiyona gerçek sayı dizisi denir.
Örnek:
n = 3n + 4 ve n ϵ N+ olmak üzere
f(n) = 3n + 4 sayı dizisi n’in 5’e kadar olan değerleri için;
f(1) = 7
f(2) = 10
f(3) = 13
f(4) = 16
f(5) = 19 olur. Görüldüğü gibi sayı dizimiz 7 ile başlayıp 3’er artarak sonsuza kadar gitmektedir.
Bir fonksiyonun dizi belirtebilmesi için fonksiyonun aldığı her n değeri için sonucun bir reel sayı belirtmesi gerekir.
Örneğin;
f(n) = √n – 6 ifadesi n nin 1, 2, 3, 4, 5 değerleri için bir reel sayı belirtmez. Bu nedenle f(n) fonksiyonu bir dizi olamaz.
Aritmetik Dizi
Ardışık terimleri arasındaki fark sabit olan dizilere aritmetik diziler denir.
f(n) ve f(n + 1) fonksiyonları bir dizinin ardışık iki terimini göstersin. Her n değeri için;
f(n + 1) – f(n) = a oluyorsa bu dizi aritmetik dizidir.
Örnek:
3, 5, 7, 9, 11 … dizisi ilk terimi 3 olan ve ardışık iki terimi arasındaki fark 2 olan aritmetik bir dizidir.
Örnek:
7, 15, 23, 31, 39, 47, 55, 63, …. Şeklinde devam eden dizi ilk terimi 7 olan ve ardışık terimleri arasındaki fark 8 olan aritmetik bir dizidir.
Örnek:
f(x): N+ → R tanımlı f(x) fonksiyonu;
f(x) = 5x – 2 şeklinde veriliyor.
f(x) fonksiyonu bir dizi belirttiğine göre bu dizinin ilk 6 terimini yazınız ve bu fonksiyonun belirttiği dizinin özelliğini belirtiniz.
Çözüm:
f(1) = 5.1 – 2 = 3
f(2) = 5.2 – 2 = 8
f(3) = 5.3 – 2 = 13
f(4) = 5.4 – 2 = 18
f(5) = 5.5 – 2 = 23
f(6) = 5. 6 – 2 = 28
f(x) fonksiyonu ilk terimi 3 olan ve her teriminde 5 sayı artarak devam eden bir dizidir. Ardışık iki terimi arasındaki fark sabit olduğundan bu dizi aritmetik dizidir. Dizinin herhangi bir terimi;
f(x) = 5x – 2 terimidir.
Bir Aritmetik Dizinin n. ci (Genel )Teriminin Bulma
Ardışık iki terimi arasındaki fark a, ilk terimi f(1) olan bir aritmetik dizinin n.ci terimi;
f(n) = f(1) + (n – 1).a bağıntısıyla verilir.
Örnek:
f(x) = 3x + 5 dizisi için;
A) Genel terimi nedir?
B) 56. cı terimi kaçtır?
Çözüm:
A) Dizinin genel terimini bulalım.
f(1) = 8
f(2) = 11
f(3) = 14
dizinin ardışık iki terimi arasındaki fark sabit ve 3’dür.
f(n) = f(1) + (n – 1) . a
f(1) = 8, a = 3 olduğundan;
f(n) = 8 + 3.(n – 1) olur.
B)
Bu dizinin 56. cı terimi;
f(1) + (n – 1 ).a = 8 + 55 . 3
= 173 olarak bulunur.
Örnek:
Bir ağacın dallarından birinin zamana bağlı fonksiyonu aşağıdaki gibidir.
f(t) = 6t – 4
Bu fonksiyonda t hafta olarak, 6t – 4 ifadesi cm cinsinden verilmektedir.
Buna göre bu ağaç kaçıncı haftada 80 cm uzunluğa ulaşır.
Çözüm:
f(1) = 6.1 – 4 = 2
f(2) = 6.2 – 4 = 8
f(3) = 6.3 – 4 = 14
f(4) = 6.4 – 4 = 20
Ağaç dalının uzama fonksiyonu ardışık terimleri arasındaki farkın 6 olduğu bir aritmetik dizidir. Buna göre ağaç dalı her hafta 6 cm uzamaktadır.
f(1) = 2 olduğuna göre ağaç dalının ilk uzunluğu 2 cm’dir.
f(n) = f(1) + (n – 1) . a
80 = 2 + (n – 1) .6
78 = 6.n – 6
84 = 6n
n = 14
Buna göre ağaç dalı 14. Hafta sonunda 80 cm uzunluğa ulaşacaktır.
Aritmetik Dizilerin Sonlu Toplamları
İlk terimi r, son terimi n olan ve terimleri arasındaki artış miktarı r olan bir aritmetik dizinin r’den n’ye kadar olan terimlerinin toplanması.
| Toplam = | Terim Sayısı | . (Son terim + ilk terim) |
| 2 |
| Terim Sayısı = | Son Terim – İlk Terim | + 1 |
| Artış Miktarı |
Örnek:
Bir usta bir duvarı 4t + 6 bağıntısına göre örmektedir. Bu ifadede t gün olarak 4t + 6 metre olarak verilmektedir.
A) Bu usta 28. günde kaç m duvar örmüştür?
B) Bu usta 28. gün sonuna kadar toplam kaç m duvar örmüş olur?
Çözüm:
A)
f(1) = 10
f(2) = 14
f(3) = 18
f(4) = 22
Ustanın duvar örme fonksiyonu ardışık iki terimi arasındaki fark 4 olan bir aritmetik dizidir.
Bu dizinin genel terimi
f(n) = f(1) + (n – 1) . a dır Bu terim ayrıca herhangi bir günde ördüğü duvar miktarını da verir.
f(28) = 10 + 27 . 4
f(28) = 118 m
Usta duvarı örmeye 10 metreyle başlamış, 28. Gün sonunda 118 m duvar örmüştür. Bu sadece 28. Günde ördüğü duvar miktarıdır. Diğer terimleri eklemedik.
B) Ustanın 28 günde öreceği toplam duvar miktarını ardışık sayıların sonlu toplam formülünden yararlanarak bulabiliriz.
İlk terimi x, son terimi y olan aritmetik bir dizinin sonlu toplamı;
| T = | Terim Sayısı | .(y + x) |
| 2 |
Terim sayısını aşağıdaki formülle buluruz.
| Terim Sayısı = | y – x | + 1 |
| Artış Miktarı |
Buna göre;
| Terim Sayısı = | 118 - 10 | + 1 |
| 4 |
Terim Sayısı = 28
Toplam = 14.128
Toplam = 1792 m duvar örmüştür.
Geometrik Diziler
SANATSAL BİLGİ
25/07/2017