BİLEŞİK ÖNERMELERİN ÖZELLİKLERİ

9. Sınıflar matematik dersi mantık konusu. Bileşik önermelerde "ve" ile "veya" bağlacının tek kuvvet, değişme ve birleşme özellikleri. 

 Tek Kuvvet Özelliği

Herhangi bir p önermesi için;

p Λ p ≡ p

p v p ≡ p dir.

Ve bağlacı için

p önermesi 1 ise;

1 Λ 1 ≡ 1 olur.

P önermesi 0 ise 0 Λ 0 ≡ 0 olur.

Veya bağlacı için

p önermesi 1 ise,

1 v 1 ≡ 1

P önermesi 0 ise 

0 v 0 ≡ 0 olur.

Örneklerden görüleceği üzere p önermesinin doğruluk değeri ne ise kendisi ile yapılan ve ile veya işlemlerinin sonucu da o olmaktadır.

Bu özelliğe p önermesinin tek kuvvet özelliği denir.

Ve İşleminin Değişme Özelliği

Ve işleminin değişme özelliği vardır.

p Λ q = q Λ p dir.

Örneğin p ≡ 1 ve q ≡ 0 olsun.

p Λ q = 1 Λ 0 = 0 dır.

q Λ p = 0 Λ 1 = 0 dır.

Yukarıdaki örnekleri p ve q önermelerinin diğer değerleri için de tekrarlayabiliriz. Bu örneklerden görülebileceği gibi ve işleminin değişme özelliği vardır.

Veya İşleminin Değişme Özelliği

Herhangi iki p ve q önermesi için;

p v q ≡ q v p dir. Yani veya işleminin değişme özelliği vardır.

Örneğin, p ≡ 1 ve q ≡ 0 olsun.

p v q = 1 v 0 olur.

1 v 0 işleminin sonucu 1 dir.

Aynı p ve q önermelerini bu kez q v p şeklinde yazalım

q v p = 0 v 1

0 v 1 işleminin sonucu 1 dir.

Yukarıdaki açıklamalardan görüleceği üzere p v q ≡ q v p dir. Yani önermelerde veya işleminin değişme özelliği vardır.

Veya İşleminin Birleşme Özelliği

p, q, r önermeleri için;

p v (q v r) ≡ (p v q) v r

Yukarıdaki özelliğe Veya işleminin birleşme özelliği denir.

Örneğin; p ≡ 1, q ≡ 1 ve r ≡ 0 olsun.

p v (q v r) işlemini yapalım.

p v (q v r) ≡ 1 v (1 v 0)

1 v (1 v 0) ≡ 1 v 1

1 v 1 ≡ 1

Şimdi de (p v q) v r işlemini yapalım.

(p v q) v r ≡ (1 v 1) v 0

(1 v 1) v 0 ≡ 1 v 0

1 v 0 ≡ 1

İkiden fazla önermeyi kendi aralarında çeşitli biçimlerde gruplandırarak “veya” işlemini yaptığımızda önerme sonucu değişmemektedir.

Yukarıdaki örneklerden görüleceği üzere “Veya” işleminin birleşme özelliği vardır.

Ve İşleminin Birleşme Özelliği

p, q, r önermeleri için;

p Λ (q Λ r) ≡ (p Λ q) Λ r

Ve işleminin birleşme özelliği vardır.

Örneğin p ≡ 1, q ≡ 1 ve r ≡ 0 olsun.

p Λ (q Λ r) işlemini yapalım.

p Λ (q Λ r) ≡ 1 Λ (1 Λ 0)

1 Λ (1 Λ 0) ≡ 1 Λ 0

1 Λ 0 ≡ 0

Şimdi (p Λ q) Λ r işlemini yapalım.

(p Λ q) Λ r ≡ (1 Λ 1) Λ 0

(1 Λ 1) Λ 0 ≡ 1 Λ 0

1 Λ 0 ≡ 0

İkiden fazla önermeyi kendi aralarında çeşitli biçimlerde gruplandırarak “ve” işlemini yaptığımızda önerme sonucu değişmemektedir.

Yukarıdaki örneklerden görüleceği üzere “Ve” işleminin birleşme özelliği vardır.

Ve İşleminin Veya İşlemi Üzerine Soldan Dağılma Özelliği

p, q ve r önermeleri için;

p Λ (q V r) ≡ (p Λ q) V (p Λ r)

Yukarıdaki özelliğe "ve" işleminin "veya" işlemi üzerine soldan dağılma özelliği denir.

Örneğin, p ≡ 1, q ≡ 1 ve r ≡ 0 olsun;

p Λ (q V r) işlemini yapalım.

p Λ (q V r) ≡ 1 Λ (1 V 0)

1 Λ (1 V 0) ≡ 1 Λ 1

1 Λ 1 ≡ 1

Şimdi (p Λ q) V (p Λ r)işlemini yapalım.

(p Λ q) V (p Λ r) ≡ (1 Λ 1) V (1 Λ 0)

(1 Λ 1) V (1 Λ 0)≡ 1 V 0

1 V 0 ≡ 1

Yukarıdaki örnekten görüleceği üzere ve işleminin veya işlemi üzerine soldan dağılma özelliği vardır.

Ve İşleminin Veya İşlemi Üzerine Sağdan Dağılma Özelliği

(p V q) Λ r = (p Λ r ) V ( q Λ r)

Veya işleminin Ve İşlemi Üzerine Soldan Dağılma Özelliği

p V (q Λ r) = (p V q) Λ (p V r)

Veya işleminin Ve İşlemi Üzerine Sağdan Dağılma Özelliği

(p Λ q) V r = (p V r) Λ (q V r)

Önermelerde De Morgan Kuralları

Her p ve q önermeleri için;

(p v q)’ = p’ Λ q’

(p Λ q)’ ≡ p’ v q’

Yukarıdaki eşitliklere De Morgan kuralları denilir.

Koşullu Önermeler

Bileşik Önermeler

SANATSAL BİLGİ

19/07/2017