Özel Ders

BİLEŞKE FONKSİYON

Ygs, Lys ve 10 sınıflar fonksiyon konusu. Fonksiyonlarda bileşke işlemi. Konu anlatımı ve çözümlü örnekler.

A, B ve C adlarında üç küme ve f(x) ve g(x) adında iki fonksiyon olsun. A kümesindeki bir x elemanının f fonksiyonu altındaki görüntüsü, B kümesindeki y elemanı olsun. B kümesindeki y elemanının da g fonksiyonu altında C kümesindeki görüntüsü, z elemanı olsun. fog(x) fonksiyonu A kümesindeki x elemanını C kümesindeki z ile eşleştiren fonksiyondur.

Yani f(x) = y, g(y) = z ise fog = z olur.

Tanım:

f: A→B f(x) = y ve g:B → C g(y) = z ise, gof: A → C gof(x) = g[f(x)] =z fonksiyonuna f ile g fonksiyonlarının bileşke fonksiyonu denir.

Bileşke Fonksiyonun Şema İle Gösterimi

bileskefnc1

fog fonksiyonu A kümesinden başlayıp B ile devam eden ve C kümesinde biten bir bileşke fonksiyondur.

Örnek:

f(x) = 2x + 1

y = x² – 1

Olduğuna göre fog(x) ve gof(x) bileşke fonksiyonlarını bulunuz.

Çözüm:

fog(x) fonksiyonu, f(x) fonksiyonunda x yerine x² – 1 yazılarak bulunur.

fog(x) = 2.(x² – 1) + 1

fog(x) = 2x² – 2 + 1

fog(x) = 2x² – 1

gof(x) = (2x + 1)² – 1

gof(x) = 4x² + 4x + 1 – 1

gof(x) = 4x² + 4x

Örnek:

f(x) = x² + 5

g(x) = 3x – 4

Olduğuna göre fog(3 )+ gof(2) işleminin sonucu nedir?

Çözüm:

fog(x) = f[g(x)] = f(3x – 4) = (3x – 4)² + 5

fog(x) = 9x² – 24x + 16 + 5

fog(x) = 9x² – 24x + 21

fog(3) = 81 – 72 + 21

fog(3) = 30

gof(x) = g[f(x)] = g(x² + 5)

gof(x) = 3(x² + 5) – 4

gof(x) = 3x² + 15 - 4

gof(2) = 12 + 15 – 4

gof(2) = 23

fog(3) + gof(2) = 53

2. Yol

Bu yöntemde 2. Fonksiyon ifadesi 1. Fonksiyonda x yerine yazılarak değeri bulunur ve bu değer ilk fonksiyonda yerine yazılırsa bileşke fonksiyon bulunmuş olur.

fog(x) = f[g(x)] olduğundan

fog(x) = f(3x – 4) = x² + 5

fog(3) = f(3.3 – 4) = f(5) = 5² + 5 = 30

gof(x) = g(x²+ 5) = 3x – 4

gof(2) = g(9) = 3.9 – 4 = 23

fog(x) + gof(x) = 53

Bulunur

3. Yol

Bu yöntem de 2. Yönteme benzer, sadece farklı bir bakış açısı sunuyor.

Bu yöntemde bileşke fonksiyonda bulunması istenen sayı önce 2. Fonksiyonda x yerine konularak 2. Fonksiyondaki değeri bulunur. Daha sonra bu değer ilk fonksiyonda yerine konulursa bileşke fonksiyon bulunmuş olur.

fog(3) için;

g(x) = 3x – 4

g(3) = 3.3 – 4 = 5

2. fonksiyonda 5 değerini veriyor, bunu 1. Fonksiyonda yerine koyalım.

f(x) = x² + 5

f(5) = 25 + 5 = 30

gof(2) için;

f(x) = x² + 5

f(2) = 9

g(x) = 3x – 4

g(9) = 3.9 – 4 = 23

fog(3) + gof(2) = 53 bulunur.

Böylece sabit bir sayının değerini bulurken, önce asıl sayı 2. Fonksiyonda x yerine konulur, daha sonra 2. Fonksiyonda bulunan değer 1. Fonksiyonda yerine konularak bileşke sonuç bulunmuş olur.

Örnek: