BİR FONKSİYONUN TERSİ

Lys ve 10. Sınıf matematik fonksiyonlar konusu. Ters fonksiyonların tanımı ve grafiği. Konu anlatımı ve çözümlü örnekler.


f: A→ B, birebir ve örten fonksiyon olmak üzere;

f-1: B→A fonksiyonu f fonksiyonunun tersidir.

f(x) = y ise, f-1(y) = x olur.

Bir f(x) fonksiyonunun tersini bulmak için f(x) fonksiyonunda x yerine y yazılır ve daha sonra y tek başına bırakılır. Yani fonksiyon y cinsinden ifade edilir.

f(x) = y = ax + b olsun. Bu fonksiyonun tersini bulmak için x yerine y, y yerine x yazılır.

y = ax + b

x yerine y, y yerine x yazarsak;

x = ay + b

x– b = ay

y’yi tek başına bırakalım

x - b = y
a




y = x - b
a



Tanım:

f: R → R, a, b ɛ R ve a ≠0 için f(x) = ax + b ise ↔ f-1(x) = x – b /a dır.


f: R → R olmak üzere

f(x) = axn  + b şeklinde ise

y = axn + b

x = ayn + b

yn = x - b
a



tersfnc



f: R – {-d
} →{a}
c
c



f(x) = ax + b şeklinde ise bu fonksiyonun tersi.
cx + d



f(y) = f-1(x) = - dx + b
cx - a



Şeklinde olur.


Bir fonksiyonun tersinin olabilmesi için, bu fonksiyon birebir ve örten olmalıdır.

Bir fonksiyonun tersinin tersi kendisine eşittir.

[f-1(x)]-1= f(x)


Örnek:

f-1(x) = 5x + 6 ise f(x) nedir?


Çözüm:

Bir fonksiyonun tersinin tersi yine bu fonksiyona eşittir.

[f-1(x)]-1 = f(x)

f-1(x) = y Bu fonksiyonun tersini bulalım.

y = 5x + 6 

y yerine x, x yerine y yazarsak;

x = 5y + 6

x – 6 = 5y

y = x - 6
5



f(x) = x - 6
5



Örnek:

f-1(x) = 3x + 6

Olduğuna göre f(12) kaçtır?


Çözüm:

 [f-1(x)]-1 = f(x)

f-1(x) = y = 3x + 6

y = 3x + 6

x = 3y + 6

3y = x – 6

y = x - 6
3



f(x) = x - 6
3



f(12) = 12 - 6
3



f(12) = 2 bulunur.


Bu sonucu f-1 (x) = 3x + 6 ifadesinde yerine koyunca 12 çıktığına dikkat ediniz.


Örnek:

f(3x – 7) = 6x + 12

Olduğuna göre f(x) ifadesini bulunuz.


Çözüm:

Bu tip sorularda parantez içindeki sayının tersini bularak x yerine koymamız, bize f(x) fonksiyonunu verecektir.

Bu soruda parantez içindeki ifade 3x – 7 şeklindedir. Bunun tersini alalım.

y = 3x – 7

x = 3y – 7

x + 7 = 3y

y = x + 7
3




Burada 3x – 7 ifadesini bir fonksiyon gibi düşündük ve tersini aldık. Bu değeri yerine koymamız, bize x ifadesini verecektir. Yani;

3x – 7 ifadesinde x yerine yukarıda bulduğumuz ters ifadeyi koyarsak

3(x + 7) - 7
3



= x olur. O halde


f(3x – 7) = 6x + 12 ifadesinde x gördüğümüz her yere;

x + 7 yazacağız.
3





f[ 3(x + 7) 
- 7] =6(x + 7) + 12
3
3




f(x) = 2x + 26 bulunur.


Örnek:

f(x) = 6x + 8
2x - 7



Olduğuna göre f-1(x) ifadesini bulunuz.


Çözüm:

f(x) = y olsun.

y = 6x + 8
2x - 7




Bu ifadede x yerine y, y yerine x yazalım.

x = 6y + 8
2y - 7



x(2y – 7) = 6y + 8

2xy – 7x = 6y + 8

2xy – 6y = 7x + 8

y(2x – 6) = 7x + 8

y = 7x + 8
2x - 6



f-1(x) = 7x + 8
2x - 6




Örnek:

f(x) = 8x + 1
4x + 3




 f-1(3) + f-1(7) toplamı kaçtır?

Çözüm:

 f-1(x) fonksiyonunu bulalım.


f(x) = y

y = 8x + 1
4x + 3



Bu denklemde y yerine x, x yerine y yazarak f-1(x) fonksiyonunu bulacağız.

x = 8y + 1
4y + 3



x(4y + 3) = 8y + 1

4xy + 3x = 8y + 1

4xy - 8y = 1 - 3x

y(4x - 8) = 1 - 3x


y = 1 - 3x
4x - 8



f-1(y) = 1 - 3x
4x - 8



f-1(3) = 1 - 9
12 - 8




f-1(3) = -2


f-1(7) = 1 - 21
28 - 8



f-1(7) = -1

f-1(3) + f-1(7) = - 2 - 1 = -3 bulunur.



Ters Fonksiyonun Grafiği


Yukarıdaki şekilde kırmızı renkli grafik f(x) fonksiyonuna aittir ve f(6) = 5 olmaktadır. Mavi renkli grafik f(x) fonksiyonunun tersidir ve f-1(5) = 6 olmaktadır.

Bir fonksiyonun tersinin grafiğini çizerken, o fonksiyonda y ekseninde yer alan değerler, x eksenine, x ekseninde yer alan değerler y eksenine yazılır ve grafik buna göre f(y) = x olacak şekilde yeniden çizilir.


Aşağıdaki linkte 10 adet çözümlü fonksiyon sorusu yer almaktadır.

Fonksiyonlar Çözümlü Sorular


Diğer konular:

Bileşke Fonksiyonlar


Fonksiyonlarda Toplama, Çıkarma, Çarpma ve Bölme İşlemleri


SANATSAL BİLGİ

05/12/2016

  • YORUM YAZ
  • ADI SOYADI(veya nick)
  • YORUM
YORUMLAR
Ayla karadagli
tesekkurlerrrrrrrrrr
Sanatsal Bilgi
Merhaba Türki Siyaher. Sorunuz şu linkte çözülmüştür. 2. soru sizin sorunuzdur. http://www.sanatsalbilgi.com/DOKUMANLAR/12/ziyaretcilerin-matematik-sorulari-1056.html
türki siyaher
abi bunun cevabı ne f(x)=3x-8
betül
çok sağ olun, gerçekten yardımcı oldunuz teşekkür ederiiim
Sanatsal Bilgi
Merhaba, Muhammet. Teşekkür ederiz. Aslında karışıklık yok. Önce normal bir fonksiyon sormak isterken sonra bir önceki sorudaki ters fonksiyondan yola çıkıp ana fonksiyonu buldurmak istemişiz ve soruyu düzeltmediğimiz için dediğiniz durum çıkmış.
Muhammed Anıl
Hocam son soruda hata var .Bir üstteki fonksiyonun tersini alttaki soruda cevaplamışsınız ,halbuki soruda farklı bir fonksiyon vermişsiniz karışmış galiba , Teşekkürler.
seher
teşekkürler

COPYRIGHT© HER HAKKI SAKLIDIR
Sitede Yer Alan Bilgi Belge Ve Materyallerin İzinsiz olarak Kopyalanması ve Alıntılanması Yasaktır

SANATSAL BILGI