BİR FONKSİYONUN TERSİ
Lys ve 10. Sınıf matematik fonksiyonlar konusu. Ters fonksiyonların tanımı ve grafiği. Konu anlatımı ve çözümlü örnekler.
f: A→ B, birebir ve örten fonksiyon olmak üzere;
f-1: B→A fonksiyonu f fonksiyonunun tersidir.
f(x) = y ise, f-1(y) = x olur.
Bir f(x) fonksiyonunun tersini bulmak için f(x) fonksiyonunda x yerine y yazılır ve daha sonra y tek başına bırakılır. Yani fonksiyon y cinsinden ifade edilir.
f(x) = y = ax + b olsun. Bu fonksiyonun tersini bulmak için x yerine y, y yerine x yazılır.
y = ax + b
x yerine y, y yerine x yazarsak;
x = ay + b
x– b = ay
y’yi tek başına bırakalım
Tanım:
f: R → R, a, b ɛ R ve a ≠0 için f(x) = ax + b ise ↔ f-1(x) = x – b /a dır.
f: R → R olmak üzere
f(x) = axn + b şeklinde ise
y = axn + b
x = ayn + b
| f(x) = | ax + b | şeklinde ise bu fonksiyonun tersi. |
| cx + d |
| f(y) = f-1(x) = | - dx + b |
|
| cx - a |
Şeklinde olur.
Bir fonksiyonun tersinin olabilmesi için, bu fonksiyon birebir ve örten olmalıdır.
Bir fonksiyonun tersinin tersi kendisine eşittir.
[f-1(x)]-1= f(x)
Örnek:
f-1(x) = 5x + 6 ise f(x) nedir?
Çözüm:
Bir fonksiyonun tersinin tersi yine bu fonksiyona eşittir.
[f-1(x)]-1 = f(x)
f-1(x) = y Bu fonksiyonun tersini bulalım.
y = 5x + 6
y yerine x, x yerine y yazarsak;
x = 5y + 6
x – 6 = 5y
Örnek:
f-1(x) = 3x + 6
Olduğuna göre f(12) kaçtır?
Çözüm:
[f-1(x)]-1 = f(x)
f-1(x) = y = 3x + 6
y = 3x + 6
x = 3y + 6
3y = x – 6
f(12) = 2 bulunur.
Bu sonucu f-1 (x) = 3x + 6 ifadesinde yerine koyunca 12 çıktığına dikkat ediniz.
Örnek:
f(3x – 7) = 6x + 12
Olduğuna göre f(x) ifadesini bulunuz.
Çözüm:
Bu tip sorularda parantez içindeki sayının tersini bularak x yerine koymamız, bize f(x) fonksiyonunu verecektir.
Bu soruda parantez içindeki ifade 3x – 7 şeklindedir. Bunun tersini alalım.
y = 3x – 7
x = 3y – 7
x + 7 = 3y
Burada 3x – 7 ifadesini bir fonksiyon gibi düşündük ve tersini aldık. Bu değeri yerine koymamız, bize x ifadesini verecektir. Yani;
3x – 7 ifadesinde x yerine yukarıda bulduğumuz ters ifadeyi koyarsak
= x olur. O halde
f(3x – 7) = 6x + 12 ifadesinde x gördüğümüz her yere;
f(x) = 2x + 26 bulunur.
Örnek:
Olduğuna göre f-1(x) ifadesini bulunuz.
Çözüm:
f(x) = y olsun.
Bu ifadede x yerine y, y yerine x yazalım.
x(2y – 7) = 6y + 8
2xy – 7x = 6y + 8
2xy – 6y = 7x + 8
y(2x – 6) = 7x + 8
Örnek:
f-1(3) + f-1(7) toplamı kaçtır?
Çözüm:
f-1(x) fonksiyonunu bulalım.
f(x) = y
Bu denklemde y yerine x, x yerine y yazarak f-1(x) fonksiyonunu bulacağız.
x(4y + 3) = 8y + 1
4xy + 3x = 8y + 1
4xy - 8y = 1 - 3x
y(4x - 8) = 1 - 3x
f-1(3) = -2
f-1(7) = -1
f-1(3) + f-1(7) = - 2 - 1 = -3 bulunur.
Ters Fonksiyonun Grafiği
Yukarıdaki şekilde kırmızı renkli grafik f(x) fonksiyonuna aittir ve f(6) = 5 olmaktadır. Mavi renkli grafik f(x) fonksiyonunun tersidir ve f-1(5) = 6 olmaktadır.
Bir fonksiyonun tersinin grafiğini çizerken, o fonksiyonda y ekseninde yer alan değerler, x eksenine, x ekseninde yer alan değerler y eksenine yazılır ve grafik buna göre f(y) = x olacak şekilde yeniden çizilir.
Aşağıdaki linkte 10 adet çözümlü fonksiyon sorusu yer almaktadır.
Fonksiyonlar Çözümlü Sorular
Diğer konular:
Bileşke Fonksiyonlar
Fonksiyonlarda Toplama, Çıkarma, Çarpma ve Bölme İşlemleri
SANATSAL BİLGİ
05/12/2016