ÇEMBERDE TRİGONOMETRİK BAĞINTILAR

11. sınıflar matematik dersi. Birim çember üzerinde trigonometrik oranların gösterilmesi. Birim çemberde sinx, cosx, tanx, cotx, cscx ve secx değerleri.

Birim çember:

Yarıçap uzunluğu 1 birim olan çembere birim çember denir. Birim çembere trigonometrik çember de denilir.

Çember üzerinde herhangi bir P noktası alalım. Bu noktadan merkeze çizeceğimiz doğru parçası çemberin yarıçapı olacaktır ve uzunluğu 1 birimdir.

P noktasından çemberin x eksenine bir dikme inersek, bir dik üçgen oluşturmuş oluruz. P noktasından x eksenine indiğimiz dik doğru parçasına y diyelim. Çemberin merkezini bu doğru parçasıyla x ekseninde birleştiren doğru parçasının uzunluğuna x diyelim.

y doğru parçası y ekseninde, x doğru parçası x eksenindedir. Merkezden p noktasına çizdiğimiz doğru parçası ile x arasındaki açı ϑ dır. ϑ açısının trigonometrik oranlarını yazalım.

1- ϑ Açısının sinüsü

Birim çemberde yarıçap uzunluğu 1 birim olduğundan,

sinϑ = y olur.

Trigonometrik çemberde y eksenine sinüs ekseni denilir.

2- ϑ Açısının kosinüsü

Birim çemberde r = 1 birim olduğundan,

cosϑ = x olur.

Trigonometrik çemberde x eksenine kosinüs ekseni denilir.

3- ϑ Açısının tanjantı

sinϑ = y

cosϑ = x olduğundan;

4- ϑ Açısının kosekantı 

y = sinϑ ve r = 1 olduğundan;

5- ϑ Açısının sekantı

x = cosϑ ve r = 1 olduğundan;

6- ϑ Açısının kotanjantı

sinϑ = y

cosϑ = x olduğundan;

Yukarıdaki değerler yarıçapı 1 birim olan çember üzerinde tanımlı olan değerlerdir, çember yarıçapı 2 birim olursa;

Örnek:

Birim çember üzerinde;

cosϑ= 0,5

sinϑ = 0,9

Olduğuna göre tanϑ kaçtır?

Çözüm:

tanϑ = 1,8

Örnek:

Birim çember üzerinde,

cosϑ = 0,6 olduğuna göre;

secϑ değeri kaçtır?

Çözüm:

Örnek:

Şekildeki birim çemberde;

sinϑ = 0,6 olduğuna göre x ve y değerlerinin toplamı kaçtır.

Çözüm:

Birim çember üzerinde

sinϑ = y dir.

Buna göre y = 0,6 dır.

Birim çemberde r = 1 olduğuna göre;

(0,6)² + x² = 1

x² = 1 – 0,36

x² = 0,64

x = 0,8 dir.

x + y = 0,6 + 0,8 = 1,4 dür.

1- Temel Trigonometrik Özdeşlik  

sinϑ² + cosϑ² = 1 

Bu bağıntının doğruluğunu ispatlayalım.

1. Yol

cosϑ² + sinϑ²  ifadesinde ϑ açısı yerine 0° koyarsak;

cos0° = 1

sin0° = 0 

olduğundan;

cosϑ² + sinϑ² = 1² + 0² = 1 olur.

2. Yol

ABC dik üçgeninde 

Dik üçgende hipotenüs dik kenarların kareleri toplamına eşitti.

y² + x² = r²

cosϑ² + sinϑ² = 1

Bu bağıntıdan yola çıkarak aşağıdaki eşitlikleri yazabiliriz.

cosϑ² = 1 – sinϑ²      (1)

sinϑ² = 1 – cosϑ²      (2)

2 - Tamamlayıcı Açı Bağıntısı

Birbirini 90° ye tamamlayan açılardan birinin sinüsü diğerinin kosinüsüne eşittir.

a) cos (90 – ϑ) = sinϑ

b) sin(90 – ϑ) = cosϑ

Örnek:

ϑ = 30° ise

cos(90 – ϑ) = cos(90 – 30) = cos60°

cos60° = 0,5

sinϑ = sin30

sin30° = 0,5

SANATSAL BİLGİ

21/09/2017