ÇEMBERDE TRİGONOMETRİK BAĞINTILAR

11. sınıflar matematik dersi. Birim çember üzerinde trigonometrik oranların gösterilmesi. Birim çemberde sinx, cosx, tanx, cotx, cscx ve secx değerleri.



Birim çember:

Yarıçap uzunluğu 1 birim olan çembere birim çember denir. Birim çembere trigonometrik çember de denilir.

Çember üzerinde herhangi bir P noktası alalım. Bu noktadan merkeze çizeceğimiz doğru parçası çemberin yarıçapı olacaktır ve uzunluğu 1 birimdir.

P noktasından çemberin x eksenine bir dikme inersek, bir dik üçgen oluşturmuş oluruz. P noktasından x eksenine indiğimiz dik doğru parçasına y diyelim. Çemberin merkezini bu doğru parçasıyla x ekseninde birleştiren doğru parçasının uzunluğuna x diyelim.

y doğru parçası y ekseninde, x doğru parçası x eksenindedir. Merkezden p noktasına çizdiğimiz doğru parçası ile x arasındaki açı ϑ dır. ϑ açısının trigonometrik oranlarını yazalım.

TrigonometrikBgnt_S11A1


1- ϑ Açısının sinüsü

sinϑ = y
r




Birim çemberde yarıçap uzunluğu 1 birim olduğundan,

sinϑ = y
1



sinϑ = y olur.

Trigonometrik çemberde y eksenine sinüs ekseni denilir.


2- ϑ Açısının kosinüsü

cosϑ = x
r




Birim çemberde r = 1 birim olduğundan,

cosϑ = x
1




cosϑ = x olur.

Trigonometrik çemberde x eksenine kosinüs ekseni denilir.

3- ϑ Açısının tanjantı

tanϑ =y
x



sinϑ = y

cosϑ = x olduğundan;

tanϑ =sinϑ
cosϑ




4- ϑ Açısının kosekantı 

cscϑ=r
y




y = sinϑ ve r = 1 olduğundan;

cscϑ=1
sinϑ




5- ϑ Açısının sekantı

secϑ =r
x




x = cosϑ ve r = 1 olduğundan;

secϑ =1
cosϑ




6- ϑ Açısının kotanjantı

cotϑ =x
y




sinϑ = y

cosϑ = x olduğundan;

cotϑ =cosϑ
sinϑ




Yukarıdaki değerler yarıçapı 1 birim olan çember üzerinde tanımlı olan değerlerdir, çember yarıçapı 2 birim olursa;

sinϑ = y
r




sinϑ = y olacaktır.
2





Örnek:

Birim çember üzerinde;

cosϑ= 0,5

sinϑ = 0,9

Olduğuna göre tanϑ kaçtır?

Çözüm:


tanϑ = sinϑ
cosϑ




tanϑ = 0,9
0,5



tanϑ = 1,8


Örnek:

Birim çember üzerinde,

cosϑ = 0,6 olduğuna göre;

secϑ değeri kaçtır?



Çözüm:

secϑ = 1
cosϑ




secϑ = 1
0,6




secϑ = 5
3




Örnek:

TrigonometrikBgnt_S11A2


Şekildeki birim çemberde;

sinϑ = 0,6 olduğuna göre x ve y değerlerinin toplamı kaçtır.

Çözüm:

Birim çember üzerinde

sinϑ = y dir.

Buna göre y = 0,6 dır.

Birim çemberde r = 1 olduğuna göre;

(0,6)2 + x2 = 1

x2 = 1 – 0,36

x2 = 0,64

x = 0,8 dir.

x + y = 0,6 + 0,8 = 1,4 dür.


1- Temel Trigonometrik Özdeşlik  

sinϑ2 + cosϑ2 = 1 


Bu bağıntının doğruluğunu ispatlayalım.

1. Yol

cosϑ2 + sinϑ2  ifadesinde ϑ açısı yerine 0° koyarsak;

cos0° = 1

sin0° = 0 

olduğundan;


cosϑ2 + sinϑ2 = 12 + 02 = 1 olur.

2. Yol

TrigonometrikBgnt_S11A3



ABC dik üçgeninde 

sinϑ =y
r



cosϑ =x
r




sinϑ2 =y2
r2




cosϑ2=x2
r2




cosϑ2 + sinϑ2 =x2 
+y2
r2
r2




cosϑ2 + sinϑ2 = x2 + y2
r2




Dik üçgende hipotenüs dik kenarların kareleri toplamına eşitti.

y2 + x2 = r2

cosϑ2 + sinϑ2 = r2
r2




cosϑ2 + sinϑ2 = 1

Bu bağıntıdan yola çıkarak aşağıdaki eşitlikleri yazabiliriz.

cosϑ2 = 1 – sinϑ2      (1)

sinϑ2 = 1 – cosϑ2      (2)


2 - Tamamlayıcı Açı Bağıntısı

Birbirini 90° ye tamamlayan açılardan birinin sinüsü diğerinin kosinüsüne eşittir.

a) cos (90 – ϑ) = sinϑ

b) sin(90 – ϑ) = cosϑ

Örnek:

ϑ = 30° ise

cos(90 – ϑ) = cos(90 – 30) = cos60°

cos60° = 0,5

sinϑ = sin30

sin30° = 0,5





SANATSAL BİLGİ

21/09/2017

  • YORUM YAZ
  • ADI SOYADI(veya nick)
  • YORUM
COPYRIGHT© HER HAKKI SAKLIDIR
Sitede Yer Alan Bilgi Belge Ve Materyallerin İzinsiz olarak Kopyalanması ve Alıntılanması Yasaktır

SANATSAL BILGI