GEOMETRİK DİZİLER

11. Sınıflar matematik geometrik diziler konusu. Geometrik dizilerin tanımı. Geometrik dizilerde ortak çarpan. Geometrik dizinin genel - n. ci - teriminin bulunması.


Ardışık iki teriminin birbirine oranı sabit bir sayı olan dizilere geometrik dizi denir.

Örnek:

1, 4, 8, 32, 128, 512 dizisi geometrik bir dizidir. Bu dizinin ardışık iki teriminin birbirine oranı sabit ve 4’tür.

2. terimin 1. Terime oranı 4/1 = 4

3. terimin 2. Terime oranı: 8/4 = 4

6. terimin 5. Terime oranı: 512/128 = 4 tür.

Bu şekildeki dizilere geometrik dizi denir.


Örnek:

f: N+ → R, f(x) = 5x fonksiyonu bir dizi belirtebilir mi? Belirtiyorsa bu dizi ne tür bir dizidir?


Çözüm:

f(1) = 5

f(2) = 25

f(3) = 125

f(4) = 625

f(2) = 5
f(1)



f(3) = 5
f(2)




f(4) = 5 tir.
f(3)



f(x) fonksiyonu bir dizidir. Her sayma sayısının karşılığı bir reel sayıdır. Ardışık iki teriminin büyük olanının küçük olanına oranı sabittir. Buna göre bu dizi geometrik bir dizidir.


Örnek:

f(x): N+ → R, f(x) = 22x fonksiyonu veriliyor.

Bu fonksiyonun bir dizi belirtip belirtmeyeceğini ve belirtiyorsa dizinin türünü bulunuz.


Çözüm:


f(1) = 4

f(2) = 16

f(3) = 64

f(4) = 256

f(2) = 4
f(1)




f(3) = 4
f(2)



f(4) = 4
f(3)




f(x) fonksiyonu n ϵ N+ olmak üzere n sayısının tüm elemanları için Reel sayılar kümesinden bir değere karşılık gelmektedir. f(x) fonksiyonu bir dizi belirtir.

f(x) fonksiyonun ardışık terimlerinden sağdakini soldakine böldüğümüzde sonuç her zaman sabittir. Buna göre f(x) fonksiyonunun belirteceği dizi geometrik bir dizi olacaktır.


Geometrik Bir Dizinin n. ci (Genel) Terimi

Geometrik dizinin ilk terimi f(1) ve ardışık iki teriminden sağdakini soldakine bölerek elde edilen sabit sayı a olsun.

Bu geometrik dizinin n. terimi f(n) = f(1) . an – 1   dir.



Örnek:

f(x) = 3x fonksiyonu ile tanımlı geometrik dizisi veriliyor. Bu dizi için;

A) İlk 5 terimini yazınız.

B) Ortak çarpanı kaçtır?

C) Genel terimi nedir?

D) 20. Terimi kaçtır?


Çözüm:

A)

İlk 5 terimini yazalım.

f(1) = 31 = 3

f(2) = 32 = 9

f(3) = 3= 27

f(4) = 34 = 81

f(5) = 35 = 243


Bu terimler aralarına virgül konularak;

3, 9, 27, 81, 243

Şeklinde gösterilebilir.


B) 

Ortak çarpan ardışık iki terimden sağdakini soldakine bölerek bulunur.

9 = 3
3



27 = 3
9




81 = 3
27




Görüldüğü gibi ardışık terimler arasındaki oran sabittir ve 3’tür. O halde bu dizinin ortak çarpanı 3’tür.

C) 

Dizinin genel terimini bulalım.

f(n) = f(1) . an – 1  

f(1) = 3, a = 3 olduğundan;

f(n) = 3 . 3n – 1  olur.

D) 

Dizinin 20. terimi genel terimde n yerine 20 yazılarak bulunur.

f(20) = 3.320 – 1

f(20) = 3 . 319  olur.



Örnek:

Sabit debili bir musluk ile doldurulmakta olan üçgen piramit şeklindeki bir su deposundaki su yüksekliğinin zaman bağlı fonksiyonu;

f(t) = 3.2x şeklindedir. Burada t saati, f(t) ifadesi mm cinsinden su yüksekliğini göstermektedir.

Buna göre, musluk açıldıktan sonra 8. saatte sonra su kaç cm daha yükselir?

Çözüm:

Musluk açıldıktan sonra 8. Saate suyun kaç cm daha yükseleceği sorulmakla dizinin 8. Teriminin değeri sorulmaktadır. Her terim o terimde yükselen su miktarını göstermektedir.

Ardışık terimler arasındaki oranı bularak başlayalım.

f(1) = 6

f(2) = 12

f(3) = 24

f(4) = 48


f(4) = 2
f(3)




f(3) = 2
f(2)




Görüldüğü gibi dizinin terimleri arasındaki oran sabit ve 2’dir. Bu oran aynı zamanda terimlerin ortak çarpanıdır.

Dizinin genel terimi;

f(n) = f(1). an – 1  denkleminden,

f(1) = 6 ve a = 2 dir. O halde genel terim;

f(n) = 6 . 2n – 1 dir.

f(8) = 6 . 27

f(8) = 768

8. saatte su yüksekliği 768 mm artar. Bu da 76,8 cm değerine karşılık gelir.



Aritmetik Diziler



SANATSAL BİLGİ

24/07/2017

  • YORUM YAZ
  • ADI SOYADI(veya nick)
  • YORUM
COPYRIGHT© HER HAKKI SAKLIDIR
Sitede Yer Alan Bilgi Belge Ve Materyallerin İzinsiz olarak Kopyalanması ve Alıntılanması Yasaktır

SANATSAL BILGI