GRAFİKTEN LİMİT BULMA

12. Sınıflar ve lys matematik dersi. Fonksiyon grafiklerinden limitlerini bulma. Parçalı fonksiyonların grafikleri üzerindeki noktaların limitleri. Çözümlü örnekler.




Örnek – 1 

Grafikten_LimitS12I1


Şekildeki f(x) fonksiyonunun x = 4 noktası için;


limx→4+ f(x)

limx→4- f(x)

limx→4  f(x)


Limitleri kaçtır?

Çözüm:

Fonksiyon x = 4 noktasında tanımsızdır. Fonksiyon grafiği üzerinde sağ taraftan x = 4 noktasına doğru gelirsek y değeri 6’ya yaklaşır. Eğer sol taraftan x = 4 noktasına yaklaşırsak y değeri yine 6 sayısına yaklaşmaktadır.

Fonksiyon grafiği dalgalı olsa da x değeri 4’e yaklaştıkça, y değeri de 6 sayısına yaklaşmaktadır.

Fonksiyonun x = 4 noktasında tanımsız olması bu noktada limitin varlığını engellemez.

Buna göre;

limx→4+ f(x) = 6

limx→4– f(x) = 6

limx→4  f(x) = 6


Örnek – 2 

Grafikten_LimitS12I2


Şekildeki f(x) fonksiyonu için;


A) 

limx→–4+ f(x)

B) 

limx→–4–  f(x)

C) 

limx→–4  f(x)

Değerlerini bulunuz.


Çözüm:

Fonksiyon iki parçadan oluşmaktadır. 1. Parça negatif yönden gelerek (-4, 3) noktasında sonlanan parçadır. 2. Parça x ekseninin pozitif tarafından gelen ve (-4, 1) noktasında sonlanan parçadır.

x = 4 noktasına sağdan giderken alttaki parçayı, soldan yaklaşırken üstteki parçayı kullanırız. Fonksiyon bu noktalara göre farklı biçimlerde tanımlanmıştır.


A) 

limx→–4+  f(x) = 1

B) 

limx→–4–  f(x) = 3

C) Sağ ve sol limitler eşit olmadığından x = –4 noktasında limit yoktur.


Örnek – 3 

Grafikten_LimitS12I3


Yukarıda grafiği verilen f(x) fonksiyonu için;

A) x = -3 noktasındaki limiti

B) x = 2 noktasındaki limiti

C) x = 4 noktasındaki limiti bulunuz.


Çözüm:

x = - 3 noktasındaki limiti inceleyelim.

Bu noktada limitin var olması için x = -3 değerine karşılık gelen y değerine grafiği hem sağdan hem de soldan takip ederek gelebilmemiz gerek. Yani grafik çizgisini bir kalemle x = -3 değerinin sağından ve solundan takip edersek aynı y değerine gelebilmeliyiz.

Grafikten_LimitS12I4


A)

x → -3 limitini inceleyeceğimiz fonksiyon parçaları yeşil renk ile gösterilmiştir. Şekilde görüldüğü gibi ok yönünde çizgileri takip edersek y = 1 değerine gelmekteyiz.

Bu durumda;

limx→–3–  f(x) = 1

limx→–3+  f(x) = 1

limx→–3   f(x) = 1


B)

Grafikten_LimitS12I5


x = 2 noktasındaki limiti mor çizgiler üzerinde inceleyeceğiz. Soldan yaklaşırken üstteki parçayı, sağdan yaklaşırken alttaki parçayı kullanacağız.

x = 2 değerine soldan yaklaştığımızda f(x) değeri 2’ye yaklaşmaktadır.

x = 2 değerine sağdan yaklaştığımızda f(x) değeri 1’e yaklaşmaktadır.


Buna göre;

limx→2–  f(x) = 2

limx→2+ f(x) = 1


Sağ ve sol limitler eşit olmadığından fonksiyonun bu noktada limiti yoktur.


C)

Grafikten_LimitS12I6


Fonksiyonun x = 4 noktasındaki limitini incelerken mavi çizgileri takip edeceğiz. Soldan yaklaşmada (2, 4) aralığındaki grafiği, soldan yaklaşmada, [4, ∞] parçasını kullanacağız.


Buna göre soldaki parçayı takip ederek x = 4 değerine yaklaştığımızda y değeri – 1 ‘e yaklaşmaktadır.

limx→4–  f(x) = -1

Sağdaki parçayı takip ederek x = 4 değerine yaklaştığımızda y değeri – 2 ‘ye yaklaşmaktadır.

limx→4+ f(x) = -2

Sağ ve sol limitler eşit olmadığından x = 4 için limit yoktur.



Örnek – 4 

Grafikten_LimitS12I7


A) Şekildeki grafikte x = 6 ve x = 10 noktalarındaki limitleri bulunuz.

B) x = -7 noktasındaki limiti inceleyiniz.

Çözüm:

A)

Grafik üç parçadan oluşmaktadır.

x = 6 noktasına yaklaşırken yeşil renkteki çizgiler takip edilir.

Grafikten_LimitS12I8


Sağdan ve soldan bu çizgileri takip ederek x = 6 değerime yaklaştığımızda y değeri 8’e yaklaşmaktadır.

limx→6–  f(x) = 8

limx→6+ f(x) = 8

limx→6  f(x) = 8


x = 10 noktasındaki limiti bulurken mor renkli çizgiyi takip ederiz.


Grafikten_LimitS12I9


x = 10 noktasına sağdan ve soldan yaklaştığımızda y değeri 5 olmaktadır. Sağ ve sol limitler eşit ve 5’dir. Sağ limit sol limite eşit olduğundan;

limx→10 f(x) = 5 tir.

B)

Grafikten_LimitS12I10


x = - 7 noktasındaki limiti incelerken mavi çizgileri takip ederiz.

Üstteki parça x = -7 değerine yaklaşırken, y değeri 5’e yaklaşmaktadır.

Alttaki parça x = - 7 değerine yaklaşırken, y değeri 3’e yaklaşmaktadır.

Sağ limit 5, sol limit 3’tür. Sağ ve sol limitler eşit olmadığından fonksiyonun bu noktada limiti yoktur.


Limit ve Grafik

Parçalı Fonksiyonların Limiti

Limitlerde Belirsizlik



SANATSAL BİLGİ

28/09/2017

  • YORUM YAZ
  • ADI SOYADI(veya nick)
  • YORUM
COPYRIGHT© HER HAKKI SAKLIDIR
Sitede Yer Alan Bilgi Belge Ve Materyallerin İzinsiz olarak Kopyalanması ve Alıntılanması Yasaktır

SANATSAL BILGI