Özel Ders

KARTEZYEN ÇARPIM

Ygs ve 9. Sınıf matematik. Sıralı ikililer, Kartezyen çarpım ve tanımı. Kartezyen çarpımla ilgili örnekler ve grafikler. Kartezyen çarpımın eleman sayısı.

Sıralı İkili

x ve y gibi iki elemanın sırası önemli olacak şekilde (x, y) biçiminde ifade edilmesine sıralı ikili denir. Sıralı ikili kısaca ikili olarak da ifade edilir. x elemanına sıralı ikilinin birinci bileşeni, y elemanına da ikilinin ikinci bileşeni denir.

Sıralı ikililerde sıra önemli olduğundan x ≠ y ise (x, y) ≠ (y, x) tir.

İki Sıralı İkilinin Eşit Olması

(x, y) = (a, b) ↔ (x = a ve y = b)

Örnek:

(3x – 4, y + 2) = (2x – y, x – 6) olduğuna göre, x ve y değerleri nedir?

Çözüm:

İki adet sıralı ikili birbirine eşit ise;

3x – 4 = 2x – y (1)

y + 2 = x – 6 (2)

Olmalıdır.

1. denklemde;

3x – 4 = 2x – y

x + y = 4

2. denklemde

y + 2 = x – 6

x = y + 8

x’in bu değerini 1. denklemde yerine koyarsak y değerini buluruz.

x + y = 4

y + 8 + y = 4

2y = - 4

y = -2 olarak bulunur.

x + y = 4 olduğuna göre

x = 6 bulunur.

İki Kümenin Kartezyen Çarpımı

A ve B boş olmayan iki küme olsun. 1. Bileşeni A kümesinden, 2. Bileşeni B kümesinden alınarak oluşturulan tüm sıralı ikililerin oluşturduğu kümeye A ile B kümelerinin Kartezyen çarpımı denir ve AxB biçiminde gösterilir, A Kartezyen çarpım B şeklinde okunur.

Kartezyen Çarpım Tanımı

AxB = {(x, y) | x ɛ A ve y ɛ B } dir.

Örnek:

A = {x, y, z}

B = {2, 5, 9}

AxB = {(x, 2), (x, 5), (x, 9),(y, 2), (y, 5), (y, 9), (z, 2), (z, 5), (z, 9)}

BxA = {(2, x), (2, y), (2, z), (5, x), (5, y), (5, z), (9, x), (9, y), (9, z)}

Kartezyen çarpımın değişme özelliği yoktur. AxB ≠ BxA dır.

Kartezyen Çarpımın Eleman Sayısı

s(A) = m

s(B) = n

s(AxB) = m.n

s(BxA) = n.m = m.n

A ile B kümesinin Kartezyen çarpımının eleman sayısı, bu kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir.

Örnek:

S(A) = 9

S(B) = 7

Olduğuna göre A ve B kümelerinin Kartezyen çarpımı kaç elemanlıdır.

Çözüm:

s(AxB) = s(A).s(B)

s(AxB) = 9.7 = 63 elemanlı olur.

Örnek:

AxB = {(2,k), (2,a),(2,c), (2,x), (6, k), (6, a), (6,c), (6, x), (8, k), (8, a), (8, c), (8,x)}

Olduğuna göre, A ve B kümelerini bulunuz.

Çözüm:

Her sıralı ikilinin 1. Bileşeni A kümesinden, 2. Bileşeni B kümesinden alınmaktadır. 1. Bileşenlerde her bir farklı eleman A kümesinin bir elemanını, 2. Bileşenlerdeki her bir farklı eleman B kümesinin bir elemanını gösterir.

Buna göre A kümesi;

A= {2, 6, 8}

B = {k, a, c, x} olarak bulunur.

Örnek:

A = {x1, x2, x3, x4}

B = {y1, y2}

Kümeleri veriliyor. Bu kümelerin Kartezyen çarpımını yaparak grafiğini çiziniz.

Çözüm:

A kümesinin her bir elemanını B kümesinin her bir elemanı ile eşleştirerek sıralı ikililer oluşturacağız.

AxB = {(x1, y1), (x1, y2), (x2, y1), (x2, y2), (x3, y1), (x3, y2), (x4, y1), (x4, y2)}