KARTEZYEN ÇARPIM ÖRNEKLERİ

Ygs ve 9. sınıf matematik konusu. Kartezyen çarpımın özellikleri ve çözümlü örnekler.


Kartezyen Çarpımın Özellikleri

A, B, C ve D kümeleri boş olmayan birer küme olmak üzere;

1 – A ≠ B ise AxB ≠ BxA

Kartezyen çarpımın değişme özelliği yoktur.

A ile B kümelerinin elemanları birbirine eşit değilse, en az bir elemanları farklı ise AxB ile BxA sonucu oluşturulan ikililer birbirine eşit olmayacaktır. Örneğin x A kümesinin elemanı ve y B kümesinin elemanı ise AxB kümesinde bunlara karşılık gelen ikili (x, y ) olurken, BxA kümesinde bunlara karşılık gelen ikili (y, x) olacaktır. Bu nedenle x ≠ y ise (x, y) ≠ (y, x) olacaktır. Kartezyen çarpım sıralı ikililerin özelliğini taşır ve sıralı ikililerde sıra önemlidir. Bu nedenle

A ≠ B ise AxB ≠ BxA dır.


2 – AxØ = ØxA = Ø

Boş küme ile herhangi bir kümenin Kartezyen çarpımı boş kümedir.

Boş küme elemanı olmayan bir kümedir. Kartezyen çarpımı sıralı ikililerden oluşacaktır. Boş küme ile Kartezyen çarpımında sıralı ikili oluşturulamayacağından,

AxØ = ØxA = Ø


3 – AxBxC = Ax(BxC) = (AxB)xC

Kartezyen çarpımın birleşme özelliği vardır. İkiden fazla kümenin Kartezyen çarpımında kümeler kendi aralarında ikişer gruplandırılarak çarpma işlemi yapılabilir.


4 – s(AxB) = s(A)xs(B)

İki kümenin kartezyen çarpımlarının eleman sayısı, bu kümelerin ayrı ayrı eleman sayılarının çarpımına eşittir.


5 – 

AxB∩C = (AxB) ∩ (AxC)

(B∩C) x A = (BxA) ∩(CxA)

Ax(BUC) = (AxB)U(AxC)

(BUC)xA = (BxA)U(CxA)

Ax(B – C) = (A – B)x(A – C)

(B – C) x A = (B x A) - (C x A)

A ⊃B ve C ⊃ D ise AxC ⊃ BxD olur.


Örnek:

s[(AxB) ∩ (AxC)] = 30

s(B∩C) = 5 olduğuna göre, s(A) kaçtır?


Çözüm:

Kartezyen çarpımın, kümelerin kesişimi üzerine dağılma özelliği vardır.

(AxB)∩(AxC) = Ax(B∩C) 

s[(AxB) ∩ (AxC) = 30 ise

s(Ax(B∩C) = 30 olur.

s(Ax(B∩C) = s(A).s(B∩C) dir.

s(B∩C) = 5 olduğundan

s(Ax5) = 30

s(A).5 = 30

s(A) = 6


Örnek:

A = {x | 2 ≤ x <5}

B = {y | 6≤ y < 9}

Olduğuna göre AxB kümesini liste yöntemiyle yazıp grafiğini çiziniz.



Çözüm:

A = {2, 3, 4}

B = {6, 7, 8}

AxB = {(2, 6), (2, 7), (2, 8), (3, 6), (3, 7), (3, 8), (4, 6), (4, 7), (4, 8)}


Örnek:

A = {3, 4, 6, 9}

B = {4, 7, 9, 11}


Olduğuna göre (A∩ B) x (AUB ) işlemini yapınız.


Çözüm:

A∩ B kümesi her iki kümenin ortak elemanlarının oluşturduğu kümedir.

A∩ B = {4, 9}

AUB kümesi her iki kümenin aynı veya farklı elemanlarının birer kez yazılması ile bulunur.

AUB = {3, 4, 6, 9, 7, 11}

(A∩ B) x (AUB ) = {(4, 9), (4, 4), (4, 6), (4, 9), (4, 7), (4, 11), (9, 3), (9, 4), (9, 6), (9, 9), (9, 7), (9, 11)}


Örnek:

A ve B kümeleri için;

s(A∩B) = 5, s(A) = 9, s(AxB) = 72 olduğuna göre s(B) kümesini bulunuz.



Çözüm:

s(A∩B) = 5 ise A ve B kümelerinin ortak elemanları sayısı 5’tir. s(A) = 9 ve s(AxB) = 72 ise;

s(AxB) = s(A)xs(B)

72 = 9.s(B)

s(B) = 8 bulunur.

s(AUB) = s(A) + s(B) – s(A∩B)

s(AUB) = 9 + 8 – 5

s(AUB) = 12

Olarak bulunur.


Örnek:

s(AxA) = 144 olduğuna göre s(A) kaçtır?


Çözüm:

Bir kümenin kendisi ile Kartezyen çarpımının eleman sayısı, o kümenin eleman sayısının karesine eşittir.

s(AxA) = A

144 = A2

A = 12


Örnek:

A = {x, y, z}

B = {3, 5}

AxB nin öz alt kümelerinin sayısı kaçtır?


Çözüm:

s(AxB) = s(A).s(B)

s(AxB) = 3.2=6

A ile B kümelerinin Kartezyen çarpımları 6 elemanlı bir kümedir. N elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısı 2n , öz alt kümelerinin sayısı 2n – 1 dir. Buna göre;

AxB kümesinin öz alt küme sayısı; 26 – 1 = 64 – 1 = 63 adettir.


Sıralı İkili ve Kartezyen Çarpım




SANATSAL BİLGİ

23/11/2016

  • YORUM YAZ
  • ADI SOYADI(veya nick)
  • YORUM
COPYRIGHT© HER HAKKI SAKLIDIR
Sitede Yer Alan Bilgi Belge Ve Materyallerin İzinsiz olarak Kopyalanması ve Alıntılanması Yasaktır

SANATSAL BILGI