KARTEZYEN ÇARPIM ÖRNEKLERİ
Ygs ve 9. sınıf matematik konusu. Kartezyen çarpımın özellikleri ve çözümlü örnekler.
Kartezyen Çarpımın Özellikleri
A, B, C ve D kümeleri boş olmayan birer küme olmak üzere;
1 – A ≠ B ise AxB ≠ BxA
Kartezyen çarpımın değişme özelliği yoktur.
A ile B kümelerinin elemanları birbirine eşit değilse, en az bir elemanları farklı ise AxB ile BxA sonucu oluşturulan ikililer birbirine eşit olmayacaktır. Örneğin x A kümesinin elemanı ve y B kümesinin elemanı ise AxB kümesinde bunlara karşılık gelen ikili (x, y ) olurken, BxA kümesinde bunlara karşılık gelen ikili (y, x) olacaktır. Bu nedenle x ≠ y ise (x, y) ≠ (y, x) olacaktır. Kartezyen çarpım sıralı ikililerin özelliğini taşır ve sıralı ikililerde sıra önemlidir. Bu nedenle
A ≠ B ise AxB ≠ BxA dır.
2 – AxØ = ØxA = Ø
Boş küme ile herhangi bir kümenin Kartezyen çarpımı boş kümedir.
Boş küme elemanı olmayan bir kümedir. Kartezyen çarpımı sıralı ikililerden oluşacaktır. Boş küme ile Kartezyen çarpımında sıralı ikili oluşturulamayacağından,
AxØ = ØxA = Ø
3 – AxBxC = Ax(BxC) = (AxB)xC
Kartezyen çarpımın birleşme özelliği vardır. İkiden fazla kümenin Kartezyen çarpımında kümeler kendi aralarında ikişer gruplandırılarak çarpma işlemi yapılabilir.
4 – s(AxB) = s(A)xs(B)
İki kümenin kartezyen çarpımlarının eleman sayısı, bu kümelerin ayrı ayrı eleman sayılarının çarpımına eşittir.
5 –
AxB∩C = (AxB) ∩ (AxC)
(B∩C) x A = (BxA) ∩(CxA)
Ax(BUC) = (AxB)U(AxC)
(BUC)xA = (BxA)U(CxA)
Ax(B – C) = (A – B)x(A – C)
(B – C) x A = (B x A) - (C x A)
A ⊃B ve C ⊃ D ise AxC ⊃ BxD olur.
Örnek:
s[(AxB) ∩ (AxC)] = 30
s(B∩C) = 5 olduğuna göre, s(A) kaçtır?
Çözüm:
Kartezyen çarpımın, kümelerin kesişimi üzerine dağılma özelliği vardır.
(AxB)∩(AxC) = Ax(B∩C)
s[(AxB) ∩ (AxC) = 30 ise
s(Ax(B∩C) = 30 olur.
s(Ax(B∩C) = s(A).s(B∩C) dir.
s(B∩C) = 5 olduğundan
s(Ax5) = 30
s(A).5 = 30
s(A) = 6
Örnek:
A = {x | 2 ≤ x <5}
B = {y | 6≤ y < 9}
Olduğuna göre AxB kümesini liste yöntemiyle yazıp grafiğini çiziniz.
Çözüm:
A = {2, 3, 4}
B = {6, 7, 8}
AxB = {(2, 6), (2, 7), (2, 8), (3, 6), (3, 7), (3, 8), (4, 6), (4, 7), (4, 8)}
Örnek:
A = {3, 4, 6, 9}
B = {4, 7, 9, 11}
Olduğuna göre (A∩ B) x (AUB ) işlemini yapınız.
Çözüm:
A∩ B kümesi her iki kümenin ortak elemanlarının oluşturduğu kümedir.
A∩ B = {4, 9}
AUB kümesi her iki kümenin aynı veya farklı elemanlarının birer kez yazılması ile bulunur.
AUB = {3, 4, 6, 9, 7, 11}
(A∩ B) x (AUB ) = {(4, 9), (4, 4), (4, 6), (4, 9), (4, 7), (4, 11), (9, 3), (9, 4), (9, 6), (9, 9), (9, 7), (9, 11)}
Örnek:
A ve B kümeleri için;
s(A∩B) = 5, s(A) = 9, s(AxB) = 72 olduğuna göre s(B) kümesini bulunuz.
Çözüm:
s(A∩B) = 5 ise A ve B kümelerinin ortak elemanları sayısı 5’tir. s(A) = 9 ve s(AxB) = 72 ise;
s(AxB) = s(A)xs(B)
72 = 9.s(B)
s(B) = 8 bulunur.
s(AUB) = s(A) + s(B) – s(A∩B)
s(AUB) = 9 + 8 – 5
s(AUB) = 12
Olarak bulunur.
Örnek:
s(AxA) = 144 olduğuna göre s(A) kaçtır?
Çözüm:
Bir kümenin kendisi ile Kartezyen çarpımının eleman sayısı, o kümenin eleman sayısının karesine eşittir.
s(AxA) = A2
144 = A2
A = 12
Örnek:
A = {x, y, z}
B = {3, 5}
AxB nin öz alt kümelerinin sayısı kaçtır?
Çözüm:
s(AxB) = s(A).s(B)
s(AxB) = 3.2=6
A ile B kümelerinin Kartezyen çarpımları 6 elemanlı bir kümedir. N elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısı 2n , öz alt kümelerinin sayısı 2n – 1 dir. Buna göre;
AxB kümesinin öz alt küme sayısı; 26 – 1 = 64 – 1 = 63 adettir.
Sıralı İkili ve Kartezyen Çarpım
SANATSAL BİLGİ
23/11/2016