Özel Ders

KOMBİNASYON

10. sınıflar ve ygs matematik dersi kombinasyon konusu. n elemanlı bir kümenin r li kombinasyonlarının sayısını hesaplama. Konu anlatımı ve çözümlü örnekler.

n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt kümelerinin her birine A kümesinin r elemanlı bir kombinasyonu denir. Kombinasyon;

C(n, r) =	n!	bağıntısı ile verilir.
	r!.(n – r)!

Kombinasyon ile Permütasyon Arasındaki Fark

Permütasyon n elemanlı bir kümenin r tane elemanının kaç farklı şekilde sıralanabileceğini hesaplıyordu. Yani permütasyonda sıralama söz konusuydu ve önemliydi.

Kombinasyonda n elemanlı bir kümeden r elemanlı kaç tane alt küme oluşturulabileceği hesaplanır. Yani sıralama yoktur, alt küme sayısı önemlidir.

Örnek:

Birbirinden farklı 5 kitap arasından 3 kitap kaç farklı şekilde seçilebilir.

Çözüm:

Bu bir permütasyon sorusudur. 5 kitabın içinden 3 kitabın kaç farklı yolla seçilebileceği sorulmuş.

1. kitap 5 kitaptan biri seçilerek elde edilir.

2. kitap kalan 4 kitaptan biri seçilerek elde edilir.

3. kitap kalan 3 kitaptan biri seçilerek elde edilir.

Burada 1. Kitap seçilirken her olasılıkta 2. Ve 3. Adımlar tekrarlanmakta, 2. Kitap seçillirkende her seçimde 3. Adım tekrarlanmaktadır. Dolayısıyla işlem sonucu çarpma işlemi ile bulunur.

P(5, 3) =	5!	= 60 farklı biçimde seçilebilir.
	( 5 – 3)!

Örnek:

Birbirinden farklı 5 kitap ile oluşturulabilecek 3’er kitaplı grupların sayısı kaçtır?

Çözüm:

Bu soru bir kombinasyon sorusudur. 5 kitap ile elde edilebilecek 3 kitaplı grupların sayısını sormaktadır. Seçme ve sıra önemli değildir.

C(5, 3) =	5!
	3!.2!

C(5, 3) =	5.4.3!
	3!.2!

= 10

10 farklı 3 kitaplı grup oluşturulabilmektedir.

Permütasyonla Kombinasyon Arasındaki İlişki

n elemanlı bir kümenin r li permütasyonlarının sayısı, r li kombinasyonlarının sayısının r! katına eşittir.

P(n, r) = C(n, r) .r!

P(n, r) =	n!	. r!
	r! . (n – r)!

Örnek:

30 kişilik bir sınıf labaratuar deneyleri için 5’erli gruplara ayrılacaktır. Kaç tane grup oluşturulabilir?

Çözüm:

C(30, 5) =	30!
	5! . 25!

C(30, 5) =	30 . 29 . 28 . 27 . 26 . 25!
	5! . 25!

C(30, 5) =	30 . 29 . 28 . 27 . 26
	120

C(30, 5) = 29 . 7 . 27 . 26

C(30, 5) = 142506

Örnek:

Bir toplulukta 6 kız 10 erkek vardır. Bu toplulukta 3 kız ve 2 erkekten oluşacak 5 kişilik bir grup kurulmak isteniyor. Bu grup kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

Çözüm:

6 kız arasından 3 kız kombinasyon yöntemi ile bulunur. Daha sonra 10 erkek arasından 2 erkek yine kombinasyon metodu ile bulunur. Bu iki sonucun çarpımı bize grubun oluşturulma sayısını verir.

Önce 6 kız arasından 3 kız kaç farklı şekilde seçilebilir onu bulalım.

C(6, 3) =	6!
	3!.3!

C(6, 3) =	6.5.4.3!
	3!.3!

C(6, 3) = 20

3 kız 20 farklı biçimde seçilebilir. Şimdi erkekleri seçelim.

C( 10, 2 ) =	10!
	2!.8!

C( 10, 2 ) =	10 . 9 . 8!
	8! . 2

C( 10, 2 ) = 5 . 9 = 45

İstenen grup 20 . 45 = 900 farklı biçimde oluşturulabilir.

Örnek:

Bir sepette 5 mavi, 4 kırmızı ve 8 beyaz bilye bulunmaktadır. Mavi bilyelerden 2 adet, kırmızı bilyelerden 1 adet ve beyaz bilyelerden 4 adet seçilerek 7 bilyeden oluşan bir grup kurulmak isteniyor. Bu grup kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

Çözüm:

Önce 5 mavi bilyeden 2 mavi bilyeyi daha sonra 4 kırmızı bilyeden 1 kırmızı bilyeyi ve en son 8 beyaz bilyeden 4 beyaz bilyeyi kombinasyon yöntemi ile seçerek elde ettiğimiz sonuçları çarpma prensibi ile sayarız. Sonuç bize oluşturulabilecek grup sayısını verir.

C(5, 2) =	5!
	2! . 3!

C(5, 2) = 10 mavi bilyelerin seçim sayısı.

C(4, 1) =	4!
	1! . 3!

C(4, 1) = 4 kırmızı bilyelerin seçim sayısı.

C(8, 4) =	8!
	4! . 4!

C(8, 4) =	8 . 7 . 6 . 5 . 4!
	4! . 4 . 3 . 2

C(8, 4) = 7 . 2 . 5

C(8, 4) = 70 beyaz bilyelerin seçim sayısı.

Toplam sayımız = 10 . 4 . 70

= 2800 olur.

Örnek:

5 gül ve 5 papatya arasından en az biri gül olmak üzere 4 adetlik bir çiçek demeti kaç farklı şekilde oluşturulabilir.

Çözüm:

En az biri gül olacaksa 10 adet çiçekten 4 adetlik çiçek kombinasyonlarını hesaplar sonuçtan 5 papatyadan 4 lü gül kombinasyonlarının sayısını çıkarırız.