KÜMELER

9. sınıflar ve ygs matematik konusu. Küme kavramı ve tanımları. Kümelerin gösterilmesi; Liste yöntemi, Ortak özellik yöntemi ve Venn şeması konu anlatımı.

Küme:

Belirli bir kural ile tanımlanabilen varlıkların oluşturduğu gruba küme adı verilir. Bununla birlikte matematikte kümenin net bir tanımı bulunmamaktadır. Bir sınıftaki öğrenciler, 100’e kadar asal sayılar, belli bir modele sahip araçlar bir küme oluşturabilir.

Bir grubun küme oluşturabilmesi için bu grubun çok iyi bir şekilde tanımlanabilmesi gerekir.

Kümeyi oluşturan varlıklara, o kümenin elemanları adı verilir.

Kümeler genellikle büyük harflerle adlandırılırlar. Örneğin; A kümesi, B kümesi, C kümesi gibi.

Bir Kümenin Elemanı Olup Olmama

Bir elemanın bir kümeye ait olduğunu belirtmek için, “ɛ” simgesi kullanılır. Örneğin 3 rakamı A kümesinin bir elemanı ise, bu rakamın A kümesine ait olduğunu göstereceğimiz matematik dili;

3 ɛ A şeklinde olacaktır. Bu gösterim ”3 elemanıdır A” şeklinde okunur. 

Bir elemanın bir kümeye ait olmadığını göstermek için ∉ işareti kullanılır.

3 sayısı A kümesinin bir elemanı değilse bu ifade matematiksel olarak;

 3 ∉ A şeklinde gösterilir ve “3 elemanı değildir A” şeklinde okunur.

Küme Elemanlarının Gösterim Şekilleri

1. Liste Yöntemiyle Gösterme

Bu yöntemde elemanlar küme parantezleri “{}” arasında birbirleri arasına virgül konularak gösterilir.

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 rakamları A kümesinin elemanı olsun. Bu rakamların oluşturduğu kümeyi liste ile gösterelim.

A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Şeklinde gösteririz, bu gösterime liste yöntemi ile gösterim denir.

Alfabedeki büyük sesli harfler kümesini liste yöntemiyle gösterelim. Bu kümenin adı B olsun.

B = {A, E, I, O, Ö, U, Ü}

Şeklinde gösteririz.

2. Ortak Özellik Yöntemi İle Gösterme

Küme elemanlarının hepsinde geçerli olan bir ortak özellik varsa, küme elemanları bu ortak özellik yöntemiyle gösterilebilir. Bu yöntem çok sayıda eleman bulunduran kümelerde kullanışlı olur.

Örnek:

0 ile yüz arasındaki doğal sayılardan (0 ile 100 dahil değil) oluşan kümeyi ortak özellik yöntemi ile gösterin.

Çözüm:

Küme adına A diyelim.

x değişkeni bir sayıyı belirtmek üzere 0’dan büyük, 100’den küçük sayılar;

0 < x <100 şeklinde gösterilir. Ortak özellik yöntemi ile gösterirken önce bir küme parantezi açar ve değişkenimizin x olduğunu belirtmek için küme parantezinden hemen sonra x yazarız. x ten sonra x değişkeninin bağlı olduğu koşulu belirtmek için “|” işareti koyarız. Daha sonra x in bağlı olduğu koşulu belirtiriz. En sonunda ise x  bir doğal sayımı, yoksa reel sayımı vb. belirtiriz.

A = {x| x 0 < x <100 ve x ɛ N}

Bu gösterimin okunuşu şu şekildedir;

A kümesi x ler den oluşur, öyleki x 0’dan büyük, 100 den küçüktür ve x bir doğal sayıdır.

Örnek:

0 ile 100 arasında (0 ve 100 dahil) 5’e bölünebilen pozitif tamsayılar kümesini ortak özellik yöntemiyle gösteriniz.

Çözüm:

Kümemizin adı A olsun.

0 ile 100 arasında olup 5’e bölünebilen sayılar şu şekilde gösterilebilir.

x | 0≤ x ≤ 100 x = 5k k ɛ Z⁺ 

Bu gösterimi küme için kullanalım.

A = { x | 0≤ x ≤ 100 ve x = 5k, k ɛ Z⁺ }

Örnek:

A = {x | 25< x < 345 ve x = 5k, k ɛ N}

İse A kümesinin eleman sayısı ve elemanlarının toplamını bulunuz

Çözüm: 

A kümesi 25’ten büyük ve 345’ten küçük, 5’e kalansız bölünebilen yani 5’in katları olan sayılardan oluşmaktadır.

Bu soruda ilk terim 30, son terim 340 olmaktadır, artış miktarı 5’tir.

Terim Sayısı = 340 – 30/5 + 1

= 63

s(A) = 63 tür.

Ardışık sayılar için toplam formülünü yazalım.

Ardışık sayıları hesaplamak için önce terim sayısını bulmamız gerekecek, terim sayısını veren genel formül;

Ardışık Sayılar İçin Genel Toplam Formülü;

Terim Sayısı 63 tür. Bunu toplam formülünde yerine yazarsak;

Örnek:

-5 ten büyük, 5’ e eşit ve 5’ten küçük olan tamsayılar kümesini liste yöntemi ile gösteriniz. Bu sayıların toplamı kaçtır?

Çözüm:

A = {x | -5 < x ≤ 5 ve x ɛ Z }

Bu sayıların toplamı -4 – 3 – 2 – 1 + 1 + 2+ 3 + 4+ 5 = 5 tir.

3. Venn Şeması İle Gösterme

Küme elemanlarının kapalı bir bölge içerisinde gösterilmesidir. Bu yöntemde her bir elemanın yanına bir nokta konularak kapalı bölgenin içerisinde gösterilir. Venn Şeması yöntemi, kümelerin kesişimini ve birleşimini gösterirken çok kullanışlı olur.

Örnek:

Rakamlar kümesini Venn şeması ile gösteriniz.

Çözüm:

KÜME ÇEŞİTLERİ

ALT KÜME KAVRAMI VE PROBLEMLERİ

SANATSAL BİLGİ

19/11/2016