LİMİT KAVRAMI

12. sınıflar matematik dersi. Limit ve yaklaşma konusu. Bir sayıya sağdan ve soldan yaklaşma. Bir fonksiyonun sağdan ve soldan limiti. Konu anlatımı.

Bu bölümde limitin özelliklerine girmeden yaklaşma ve limit kavramına değinilecektir. Amaç limit kavramının anlaşılmasını sağlamak olacaktır. Limit kavramı bir kez anlaşıldığında diğer işlemleri yapmak kolaydır.

Yaklaşma ve Limit

Sağdan Yaklaşma

Bir a sayısından daha büyük bir b sayısı alarak bu b sayısını azalta azalta "a" sayısına yakın değerlere getirmeye "a" sayısına sağdan yaklaşma denir.

Örneğin a = 10 olsun. Bu durumda 10’dan daha büyük bir b = 15 sayısını alalım.

b sayısından her seferinde 1 çıkarırsak b = 15, 14, 13,12,11 gibi değerler alır. Bu durumda b sayısı a sayısına sağdan yaklaşmaktadır. Sağdan yaklaşma dememizin sebebi, sayı doğrusu üzerinde, sağdaki sayı her zaman daha büyüktür. b sayısı 10’dan daha büyük olduğundan dolayı b sayısı 10 sayısına sağdan yaklaşacaktır.

Soldan Yaklaşma

Bir a sayısından daha küçük bir c sayısı alalım. Bu c sayısına sürekli daha büyük değerler vererek a sayısına yaklaştırmaya soldan yaklaşma denir.

Örneğin a = 10 olsun. 10’dan daha küçük bir c = 5 sayısı alalım. c sayısını 10 sayısına yaklaştırmak için her seferinde 1 eklersek c = 5, 6, 7, 8,9 değerlerini alır. Bu durumda c sayısı, 10 sayısına soldan yaklaşmaktadır. Soldan yaklaşma dememizin sebebi sayı doğrusu üzerinde 10’dan daha küçük sayılar 10 sayısının solunda bulunur. Bu nedenle 10 sayısından daha küçük sayılar bu sayıya ancak soldan yaklaşabilir.

Limit Bulma

A, reel sayılar kümesinin bir alt kümesi,

f(x) A → R ye bir fonksiyon,

a, b ve c reel sayılar

b >a ve c < a olsun

f(b) fonksiyonu b nin azaltılarak devam eden her değeri için bir L sayısına yaklaşıyorsa ve

f( c ) fonksiyonu c nin artırılarak devam eden her değeri için yine aynı L sayısına yaklaşıyorsa,

x, a sayısına yaklaşırken f(x) fonksiyonunun limiti L dir.

Başka bir tanımla, bir f(x) fonksiyonunda x, a’ya yaklaşırken f(x) fonksiyonu L’ye yaklaşıyorsa f(x) fonksiyonunun limiti L’dir.

Örnek:

f(x) = 6x + 3 fonksiyonu verilmiş olsun.

Bu fonksiyonun x = 5 için limitini bulunuz.

Bu fonksiyon f(5) noktasında tanımlı olduğundan f(x) fonksiyonunda x yerine 5 yazılırsa;

f(5) = 6.5 + 3 = 33 olur. Genel olarak limit bu şekilde bulunabilmektedir, polinom şeklindeki fonksiyonların limiti bu yöntemle bulunur. Biz yaklaşma kavramını kullanarak tekrardan inceleme yapalım ve limiti doğrulayalım.

b = 8

c = 3 olsun.

b sayısını 5 sayısına yaklaştıralım. b sayısı 5 sayısından büyük olduğu için sürekli daha küçük değerler vererek 5 sayısına yaklaştıracağız ve limitinin hangi sayıya gittiğini bulacağız. Bu durumda b sayısı 5 sayısına sağdan yaklaşacaktır.

b = 8 için f(x) = 51

b = 7 için f(x) = 45

b = 6 için f(x) = 39

b = 5,5 için f(x) = 36

b = 5,2 için f(x) = 34,2

b = 5,05 için f(x) = 33,3

b = 5,001 için f(x) = 33,006

 Görüleceği üzere b sayısı 5'e yaklaşırken f(x) fonksiyonunun değeri 33'e yaklaşmaktadır. O halde x sayısı 5’e yaklaşırken f(x) fonksiyonunun limiti 33 tür. Bu değer aynı zamanda sağdan yaklaşımın limitidir.

lim_x→5+  (6x + 3) = 33

Şimdi c sayısını 5 sayısına yaklaştıralım.

c = 3 için f(x) = 21

c = 4 için f(x) = 27

c = 4,5 için f(x) = 30

c = 4,9 için f(x) = 32,4

c = 4,95 için f(x) = 32,7

c = 4,995 için f(x) = 32,97

Görüleceği üzere c sayısı 5 sayısına yaklaştıkça f(x) fonksiyonu 33 sayısına yaklaşmaktadır. Bu değer soldan yaklaşımın limitidir.

 lim_x→5- (6x + 3) = 33

Soldan ve sağdan yaklaşımın limiti eşit olduğundan bu fonksiyonun limiti vardır ve 33'dür.

Örnek:

f(x) = 3x – 4 fonksiyonunun x = 1 noktasındaki limitini inceleyiniz.

Çözüm:

Genel olarak f(x) fonksiyonu x = a için tanımlı ise bu fonksiyonun x →a limiti f(a) olur.

Bu teoremi f(x) fonksiyonuna uygularsak;

f(1) = - 1 olur.

lim_x→1 (3x - 4) = -1

Şimdi sağdan ve soldan 1’e yaklaşarak fonksiyonun hangi sayıya yaklaştığını inceleyelim.

Bir c = 3 ve b = 0 sayılarını alalım.

c = 3 ile 1 sayısına sağdan yaklaşalım ve bu esnada fonksiyonun aldığı değerleri inceleyelim.

c = 3 için f(x) = 5

c = 2 için f(x) = 2

c = 1,5 için f(x) = 0,5

c = 1,2 için f(x) = - 0,4 

c = 1,05 için f(x) = - 0,85

c = 1,005 için f(x) = - 0,985

c sayısı 1’e yaklaşırken f(x) fonksiyonu – 1’e yaklaşmaktadır.

Bu durumda sağdan limit – 1 dir.

Şimdi b = 0 sayısı ile soldan yaklaşalım.

b = 0 için f(x) = - 4 

b = 0,5 için f(x) = - 2,5

b = 0, 8 için f(x) = - 1,6

b = 0,95 için f(x) = - 1,15

b = 0,995 için f(x) = - 1,015

x = 1 sayısına soldan yaklaşırsak limit yine – 1 sayısına gitmektedir. f(x) fonksiyonunun x → 1 için soldan limiti;

Sağdan limit soldan limite eşit olduğundan;

Örnek:

f(x) = 3x² + 1 fonksiyonunun x → 3 için limitini bulunuz.

Çözüm:

f(3) = 3.9 + 1 = 28 olduğundan;

lim_x→3 (3x² + 1) = 28 olmalıdır.

Yaklaşma yolu ile inceleyelim.

Sağdan yaklaşım için 5 sayısından 3’e doğru gidelim.

x = 5 → f(x) = 78

x = 4 → f(x) = 49

x = 3,5 → f(x) = 37,75

x = 3,1 → f(x) = 29,83

x = 3,05 → f(x) = 28,9

x = 3,005 → f(x) = 28,09

x sayısı sağdan 3’e yaklaştıkça, f(x) fonksiyonunun değeri 28’e yaklaşmaktadır. Öyleyse;

lim_x→3 (3x² + 1) = 28

 Şimdi 3 sayısına soldan yaklaşalım.

x = 1 → f(x) = 4

x = 2 → f(x) = 13

x = 2,5 → f(x) = 19,75

x = 2,9 → f(x) = 26,23

x = 2,98 → f(x) = 27,64

x = 2,998 → f(x) = 27,96

x sayısı, 3 sayısına soldan yaklaştığında f(x) fonksiyonunun değeri 28’e yaklaşmaktadır. Bu durumda sol limit;

lim_x→3- (3x² + 1) = 28

Sağ ve sol limitler eşit olduğundan f(x) fonksiyonunun x = 3 noktasında limiti vardır ve bu limit 28’e eşittir.

Görüleceği üzere limit kavramı o kadar korkulacak birşey değildir. Bütün mesele fonksiyonun tanımlı olduğu aralıkta x, bir a sayısına yaklaşırken fonksiyonun f(a) değerinin hangi sayıya yaklaştığını bulmaktır. İleriki konularda parçalı fonksiyonların limitleri, limit özellikleri ve grafik - limit ilişkisi verilecektir.

Parçalı Fonksiyonların Limiti

SANATSAL BİLGİ

22/09/2017