LİMİT ÖZELLİKLERİ
12. sınıflar ve lys matematik konusu. Limitlerle ilgili teoremler. Limitlerin toplanması, çıkarılması, çarpılması, bölünmesi işlemleri. Konu anlatımı ve örnekler.
f(x) ve g(x) birer fonksiyon,
L ve M ϵ R
a, k ϵ R olmak üzere
1. Toplama Özelliği
f(x) ve g(x) reel sayılar kümesinde tanımlı iki fonksiyon olsun. Bu fonksiyonların toplamlarının limiti, fonksiyonların ayrı ayrı limitlerinin toplamına eşittir.
limx→a f(x) = L
limx→a g(x) = M
limx→a (f(x) + g(x)) = limx→a f(x) + limx→a g(x)
= L + M
Örnek:
f(x) = x4
g(x) = 5x + 1
fonksiyonları veriliyor.
x, 3'e yaklaşırken f(x) + g(x) toplamının limitini bulunuz.
Çözüm:
limx→3 (f(x) + g(x))
İşlemini yapacağız.
f(x) ve g(x) fonksiyonlarının limitlerini ayrı ayrı bularak toplarsak bu iki fonksiyonun toplamlarının limitini bulmuş oluruz.
limx→3 (x4) = 34 = 81
limx→3 (5x + 1) = 5.3 + 1 = 16
limx→3 (f(x) + g(x)) = 81 + 16
= 97 bulunur.
İki fonksiyonun limitinin toplanması aşağıdaki gibi de yapılabilir. Yukarıdaki örnek rasyonel ifadelerde her bir terimin tek tek limitini alarak işlem yapmayı kolaylaştırır. Bunu ileride göreceksiniz.
f(x) + g(x) toplamı x4 + 5x + 1 olduğundan
limx→3 (x4 + 5x + 1) = 81 + 15 + 1
= 97 dir.
2. Çıkarma Özelliği
f(x) ve g(x) reel sayılar kümesinde tanımlı iki fonksiyon olsun. Bu fonksiyonların farkının limiti, fonksiyonların ayrı ayrı limitlerinin farkına eşittir.
limx→a f(x) = L
limx→a g(x) = M
limx→a [f(x) - g(x)] = limx→a f(x) - limx→a g(x)
= L - M
Örnek:
f(x) = x2+ x
g(x) = 2x – 3
Olduğuna göre;
limx→2 [f(x) - g(x)]
Limitini hesaplayınız.
Çözüm:
İki fonksiyonun ayrı ayrı limitlerini bularak bu limitlerin farkını alırsak, bu iki fonksiyonun farklarının limitini bulmuş oluruz.
limx→2 f(x) = limx→2 (x2 + x) = 4 + 2 = 6
limx→2 g(x) = limx→2 (2x - 3) = 4 - 3 = 1
Yukarıdaki özelliği kullanarak;
limx→2 [f(x) - g(x)] = 6 - 1
= 5 bulunur.
Bu özellik pay ve paydasında çok sayıda terim bulunan rasyonel ifadelerin limitini alırken oldukça kolaylık sağlar.
3. Çarpma Özelliği
f(x) ve g(x) reel sayılar kümesinde tanımlı iki fonksiyon olsun. Bu fonksiyonların çarpımlarının limiti, fonksiyonların ayrı ayrı limitlerinin çarpımına eşittir.
limx→a f(x) = L
limx→a g(x) = M
limx→a [f(x).g(x)] = limx→a f(x) . limx→a g(x)
= L.M
Örnek:
f(x) = x2 + 3x
g(x) = 5x – 6
Olduğuna göre;
limx→3 [f(x).g(x)]
Limiti kaçtır?
Çözüm:
f(x) ve g(x) fonksiyonlarının ayrı ayrı limitlerini bularak bu limitleri çarparsak, f(x).g(x) fonksiyonunun limitini bulmuş oluruz.
limx→3 f(x) = limx→3 (x2 + 3x)
= 9 + 9 = 18
limx→3 g(x) = limx→3 (5x - 6)
= 15 - 6 = 9
İki fonksiyonun çarpımının limitini aşağıdaki şekilde kolayca bulunabilir.
limx→3 [f(x).g(x)]=18.9
= 162
4. Sabit Bir Sayı İle Çarpma
Bir f(x) fonksiyonunun limiti L olsun. f(x) fonksiyonunun bir k sabiti ile çarpılması durumunda oluşan yeni fonksiyonun limiti, f(x) fonksiyonunun limitinin bu k sabitiyle çarpılmış hali olur.
limx→a f(x)=L
limx→a k.f(x)=k.L
Örnek:
f(x) = fonksiyonunun x → 5 için limiti 16’dır.
Buna göre 8.f(x) fonksiyonunun limiti kaçtır?
Çözüm:
limx→a k.f(x)=k.L
Olduğundan;
8.f(x) fonksiyonunun limiti, 8.16 = 128’dir.
5. Sabit Sayıların Limitleri Kendilerine Eşittir.
c sabit bir sayı olmak üzere;
limx→a c=c
Örnek:
limx→5 123=123
Örnek:
limx→1 2=2
Örnek:
limx→12 ( 4/5) = 4)/5
6. Bölme Özelliği
İki fonksiyonun birbirine bölümünün limiti bu fonksiyonların ayrı ayrı limitlerinin birbirine bölümüne eşittir.
limx→a f(x=L
limx→a g(x=M
Örnek:
f(x) = x2 + 3x + 2
g(x) = 2x + 4
Olduğuna göre;
Limiti kaçtır?
Çözüm:
f(x) fonksiyonunun x = 3 noktasındaki limiti;
limx→3 (x2+3x+2)=9+9+2=20
g(x) fonksiyonunun x = 3 noktasındaki limiti;
limx→3 (2x+4)=2.3+4=10
Buna göre
= 2 olarak bulunur.
7. Köklü İfadelerin Limiti
limx→a f(x)=L olsun.
(c bir çift sayı ise L ≥ 0)
Örnek:
f(x) = 12x + 4
olduğuna göre f(x) fonksiyonunu için;
Sonucu kaçtır?
Çözüm:
limx→5 (12x+4)=12.5+4=64
= 4 olarak bulunur.
8. Mutlak Değerli Fonksiyonların Limiti
limx→a |f(x)|=|limx→a f(x)|
Örnek:
limx→5 |7-3x|
Limitini hesaplayınız.
Çözüm:
limx→5 |7-3x|=|limx→5 (7-3x)|
= |7 – 3.5| = | - 8|
= 8
9. Üslü İfadelerin Limiti
f(x) fonksiyonu x = a noktasında limiti olan bir fonksiyon ve c > 0 olmak üzere;
Örnek:
limx→2 3(x+1)
Limitini hesaplayınız.
Çözüm:
limx→2 (x+1)=2+1=3
olduğundan
= 33
= 27
Grafikten Limit Bulma
SANATSAL BİLGİ
07/10/2017